homicidal chauffeur

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.20.4%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20imports()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20sympy%20as%20sp%0A%20%20%20%20from%20sympy%20import%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20symbols%2C%20Function%2C%20cos%2C%20sin%2C%20atan2%2C%20sqrt%2C%20sign%2C%20simplify%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diff%2C%20Matrix%2C%20latex%2C%20Rational%2C%20pi%2C%20trigsimp%2C%20together%2C%20cancel%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Eq%2C%20collect%2C%20factor%2C%20expand_trig%2C%20Abs%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20scipy.integrate%20import%20solve_ivp%0A%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Matrix%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20atan2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cos%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diff%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20expand_trig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20latex%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sign%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20simplify%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sin%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20solve_ivp%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sp%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sqrt%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20symbols%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20trigsimp%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20title(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20The%20Homicidal%20Chauffeur%3A%20A%20Differential%20Game%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Symbolic%20Derivation%20%26%20Interactive%20Simulation%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20*A%20%5Bmarimo%5D(https%3A%2F%2Fmarimo.io)%20notebook%20exploring%20Rufus%20Isaacs'%0A%20%20%20%20foundational%20pursuit-evasion%20problem%20through%20symbolic%20computation%0A%20%20%20%20and%20numerical%20simulation.*%0A%20%20%20%20%5B%5Bsource%20code%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2Fmzargham%2Fhc-marimo)%5D%0A%0A%20%20%20%20The%20mathematics%20is%20derived%20symbolically%20with%0A%20%20%20%20%5BSymPy%5D(https%3A%2F%2Fwww.sympy.org)%2C%20then%20brought%20to%20life%20numerically%0A%20%20%20%20with%20%5BNumPy%5D(https%3A%2F%2Fnumpy.org)%20and%0A%20%20%20%20%5BSciPy%5D(https%3A%2F%2Fscipy.org)%2C%20and%20visualized%20with%0A%20%20%20%20%5Bmatplotlib%5D(https%3A%2F%2Fmatplotlib.org).%0A%0A%20%20%20%20**References%3A**%0A%0A%20%20%20%20-%20R.%20Isaacs%2C%20*Games%20of%20Pursuit*%2C%20RAND%20Corporation%20P-257%20(1951)%0A%20%20%20%20-%20R.%20Isaacs%2C%20*Differential%20Games*%2C%20John%20Wiley%20%26%20Sons%20(1965)%2C%20pp.%20297%E2%80%93350%0A%20%20%20%20-%20A.W.%20Merz%2C%20*The%20Homicidal%20Chauffeur%20%E2%80%94%20a%20Differential%20Game*%2C%20PhD%20Thesis%2C%20Stanford%20(1971)%0A%20%20%20%20-%20V.S.%20Patsko%20%26%20V.L.%20Turova%2C%20%22Homicidal%20Chauffeur%20Game%3A%20History%20and%20Modern%20Studies%2C%22%0A%20%20%20%20%20%20*Advances%20in%20Dynamic%20Games*%2C%20Annals%20of%20the%20ISDG%20Vol.%2011%20(2011)%0A%20%20%20%20-%20S.%20Coates%20%26%20M.%20Pachter%2C%20%22The%20Classical%20Homicidal%20Chauffeur%20Game%2C%22%0A%20%20%20%20%20%20*Dynamic%20Games%20and%20Applications*%209(1)%2C%202019%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20history(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20%C2%A71%20%E2%80%94%20The%20Problem%0A%0A%20%20%20%20In%201951%2C%20Rufus%20Isaacs%20at%20the%20RAND%20Corporation%20posed%20a%20deceptively%20simple%0A%20%20%20%20question%3A%20*Can%20a%20fast%20but%20clumsy%20car%20catch%20a%20slow%20but%20agile%20pedestrian%3F*%0A%0A%20%20%20%20The%20**Homicidal%20Chauffeur%20(HC)%20problem**%20is%20a%20two-player%2C%20zero-sum%0A%20%20%20%20differential%20game%20of%20pursuit%20and%20evasion%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**Player%20P%20(Pursuer%20%2F%20%22Chauffeur%22)%3A**%20A%20car%20with%20high%20speed%20%24v_P%24%20but%0A%20%20%20%20%20%20a%20minimum%20turning%20radius%20%24R_%7B%5Cmin%7D%24%20%E2%80%94%20equivalently%2C%20a%20maximum%20angular%0A%20%20%20%20%20%20velocity%20%24%5Comega_%7B%5Cmax%7D%20%3D%20v_P%20%2F%20R_%7B%5Cmin%7D%24.%20This%20is%20a%20*Dubins%20vehicle*.%0A%0A%20%20%20%20-%20**Player%20E%20(Evader%20%2F%20%22Pedestrian%22)%3A**%20A%20point%20agent%20with%20lower%20speed%0A%20%20%20%20%20%20%24v_E%20%3C%20v_P%24%20but%20*unlimited%20maneuverability*%20%E2%80%94%20can%20instantaneously%20change%0A%20%20%20%20%20%20heading.%0A%0A%20%20%20%20-%20**Capture%3A**%20P%20wins%20if%20the%20distance%20%24%5C%7CP%20-%20E%5C%7C%20%5Cleq%20%5Cell%24%20(the%20capture%0A%20%20%20%20%20%20radius).%20E%20wins%20by%20evading%20indefinitely.%0A%0A%20%20%20%20-%20**Objective%3A**%20P%20minimizes%2C%20and%20E%20maximizes%2C%20the%20time%20to%20capture.%0A%0A%20%20%20%20The%20game%20plays%20out%20on%20an%20unbounded%20plane%20with%20no%20obstacles.%20Despite%20its%0A%20%20%20%20recreational%20framing%2C%20the%20HC%20problem%20is%20a%20canonical%20model%20for%20missile%0A%20%20%20%20guidance%2C%20UAV%20pursuit%2C%20autonomous%20vehicle%20collision%20avoidance%2C%20and%0A%20%20%20%20submarine%20evasion%20%E2%80%94%20any%20scenario%20where%20a%20fast-but-constrained%20agent%0A%20%20%20%20engages%20a%20slow-but-agile%20one.%0A%0A%20%20%20%20Isaacs%20developed%20the%20problem%20at%20RAND%20in%20the%201950s%2C%20framing%20classified%0A%20%20%20%20pursuit-evasion%20research%20in%20accessible%20terms.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20chase_demo_static(mo%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Hardcoded%20demo%20data%3A%20one%20composite%20optimal%20chase%20showing%20a%20dispersal%0A%20%20%20%20%23%20surface%20crossing.%20%20Two%20backward%20characteristics%20(alpha_A%3D40deg%2C%0A%20%20%20%20%23%20alpha_B%3D95deg)%20cross%20in%20reduced%20coordinates%3B%20the%20game-optimal%0A%20%20%20%20%23%20trajectory%20follows%20B's%20outer%20segment%20then%20switches%20to%20A's%20inner%0A%20%20%20%20%23%20segment.%20%20The%20evader%20changes%20heading%20by%20~48deg%20at%20the%20switch.%0A%20%20%20%20%23%20Generated%20with%20w%3D0.45%2C%20ell_tilde%3D0.5%2C%20T~12.%0A%20%20%20%20%23%20Pursuer%20position%20(lab%20frame)%0A%20%20%20%20_XP%20%3D%20np.array(%5B6.4691%2C%206.2348%2C%206.0217%2C%205.8627%2C%205.7537%2C%205.7110%2C%205.7349%2C%205.8259%2C%205.9782%2C%206.1711%2C%206.4095%2C%206.6664%2C%206.9047%2C%207.1247%2C%207.2993%2C%207.4125%2C%207.4672%2C%207.4527%2C%207.3754%2C%207.2332%2C%207.0381%2C%206.8149%2C%206.5580%2C%206.2951%2C%206.2766%2C%206.2646%2C%206.0210%2C%205.7699%2C%205.5400%2C%205.3464%2C%205.2076%2C%205.1188%2C%205.0361%2C%204.9081%2C%204.7374%2C%204.5186%2C%204.2733%2C%204.0178%2C%203.7805%2C%203.5535%2C%203.3639%2C%203.2243%2C%203.1464%2C%203.1276%2C%203.1746%2C%203.2843%2C%203.4407%2C%203.6490%2C%203.8890%2C%204.1403%5D)%0A%20%20%20%20_YP%20%3D%20np.array(%5B-1.7816%2C%20-1.6896%2C%20-1.5338%2C%20-1.3381%2C%20-1.0974%2C%20-0.8365%2C%20-0.5852%2C%20-0.3371%2C%20-0.1214%2C%200.0408%2C%200.1534%2C%200.2559%2C%200.3358%2C%200.4805%2C%200.6774%2C%200.9018%2C%201.1593%2C%201.4222%2C%201.6613%2C%201.8828%2C%202.0595%2C%202.1752%2C%202.2326%2C%202.2210%2C%202.2121%2C%202.2098%2C%202.1964%2C%202.2464%2C%202.3588%2C%202.5262%2C%202.7266%2C%202.9667%2C%203.2240%2C%203.4450%2C%203.6182%2C%203.7495%2C%203.8205%2C%203.8264%2C%203.7710%2C%203.6525%2C%203.4798%2C%203.2642%2C%203.0320%2C%202.7752%2C%202.5218%2C%202.2883%2C%202.0986%2C%201.9463%2C%201.8517%2C%201.8248%5D)%0A%20%20%20%20%23%20Evader%20position%20(lab%20frame%2C%20starts%20at%20origin)%0A%20%20%20%20%23%20Two%20straight-line%20segments%20with%20a%20direction%20change%20at%20_switch_idx%0A%20%20%20%20_XE%20%3D%20np.array(%5B0.0000%2C%200.1133%2C%200.2320%2C%200.3454%2C%200.4641%2C%200.5828%2C%200.6961%2C%200.8148%2C%200.9336%2C%201.0469%2C%201.1656%2C%201.2843%2C%201.3976%2C%201.5164%2C%201.6351%2C%201.7484%2C%201.8671%2C%201.9858%2C%202.0992%2C%202.2179%2C%202.3366%2C%202.4499%2C%202.5686%2C%202.6874%2C%202.6928%2C%202.6963%2C%202.7672%2C%202.8416%2C%202.9161%2C%202.9905%2C%203.0614%2C%203.1359%2C%203.2103%2C%203.2848%2C%203.3557%2C%203.4301%2C%203.5046%2C%203.5790%2C%203.6499%2C%203.7243%2C%203.7988%2C%203.8732%2C%203.9441%2C%204.0186%2C%204.0930%2C%204.1675%2C%204.2384%2C%204.3128%2C%204.3873%2C%204.4617%5D)%0A%20%20%20%20_YE%20%3D%20np.array(%5B0.0000%2C%200.0042%2C%200.0086%2C%200.0128%2C%200.0172%2C%200.0216%2C%200.0258%2C%200.0302%2C%200.0346%2C%200.0388%2C%200.0432%2C%200.0476%2C%200.0518%2C%200.0562%2C%200.0605%2C%200.0647%2C%200.0691%2C%200.0735%2C%200.0777%2C%200.0821%2C%200.0865%2C%200.0907%2C%200.0951%2C%200.0995%2C%200.0997%2C%200.1039%2C%200.1884%2C%200.2772%2C%200.3659%2C%200.4546%2C%200.5391%2C%200.6278%2C%200.7165%2C%200.8052%2C%200.8897%2C%200.9785%2C%201.0672%2C%201.1559%2C%201.2404%2C%201.3291%2C%201.4178%2C%201.5066%2C%201.5911%2C%201.6798%2C%201.7685%2C%201.8572%2C%201.9417%2C%202.0304%2C%202.1192%2C%202.2079%5D)%0A%20%20%20%20%23%20Pursuer%20heading%0A%20%20%20%20_th%20%3D%20np.array(%5B-3.3856%2C%20-3.6376%2C%20-3.9016%2C%20-4.1536%2C%20-4.4176%2C%20-4.6816%2C%20-4.9336%2C%20-5.1976%2C%20-5.4616%2C%20-5.7136%2C%20-5.9776%2C%20-6.0856%2C%20-5.8336%2C%20-5.5696%2C%20-5.3056%2C%20-5.0536%2C%20-4.7896%2C%20-4.5256%2C%20-4.2736%2C%20-4.0096%2C%20-3.7456%2C%20-3.4936%2C%20-3.2296%2C%20-2.9656%2C%20-2.9536%2C%20-2.9659%2C%20-3.2110%2C%20-3.4683%2C%20-3.7257%2C%20-3.9831%2C%20-4.2282%2C%20-4.4856%2C%20-4.3140%2C%20-4.0566%2C%20-3.8115%2C%20-3.5541%2C%20-3.2968%2C%20-3.0394%2C%20-2.7943%2C%20-2.5369%2C%20-2.2795%2C%20-2.0222%2C%20-1.7771%2C%20-1.5197%2C%20-1.2623%2C%20-1.0050%2C%20-0.7598%2C%20-0.5025%2C%20-0.2451%2C%200.0000%5D)%0A%20%20%20%20_switch_idx%20%3D%2024%20%20%23%20evader%20changes%20direction%20here%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(1%2C%201%2C%20figsize%3D(8%2C%208))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Pursuer%20trail%20and%20marker%0A%20%20%20%20_ax.plot(_XP%2C%20_YP%2C%20'-'%2C%20color%3D'%232166ac'%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D'Pursuer%20(fast%2C%20wide%20turns)')%0A%20%20%20%20_ax.plot(_XP%5B0%5D%2C%20_YP%5B0%5D%2C%20'*'%2C%20color%3D'%232166ac'%2C%20markersize%3D14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20markeredgecolor%3D'black'%2C%20markeredgewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20%23%20Pursuer%20triangle%20at%20capture%0A%20%20%20%20_sz%20%3D%200.4%0A%20%20%20%20_tri_x%20%3D%20%5B_XP%5B-1%5D%20%2B%20_sz%20*%20np.cos(_th%5B-1%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_XP%5B-1%5D%20%2B%20_sz%20*%200.5%20*%20np.cos(_th%5B-1%5D%20%2B%202.4)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_XP%5B-1%5D%20%2B%20_sz%20*%200.5%20*%20np.cos(_th%5B-1%5D%20-%202.4)%5D%0A%20%20%20%20_tri_y%20%3D%20%5B_YP%5B-1%5D%20%2B%20_sz%20*%20np.sin(_th%5B-1%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_YP%5B-1%5D%20%2B%20_sz%20*%200.5%20*%20np.sin(_th%5B-1%5D%20%2B%202.4)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_YP%5B-1%5D%20%2B%20_sz%20*%200.5%20*%20np.sin(_th%5B-1%5D%20-%202.4)%5D%0A%20%20%20%20_ax.fill(_tri_x%2C%20_tri_y%2C%20color%3D'%232166ac'%2C%20edgecolor%3D'black'%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Evader%20trail%20%E2%80%94%20two%20segments%20with%20direction%20change%0A%20%20%20%20_ax.plot(_XE%5B%3A_switch_idx%2B1%5D%2C%20_YE%5B%3A_switch_idx%2B1%5D%2C%20'--'%2C%20color%3D'%23b2182b'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.7%2C%20label%3D'Evader%20(slow%2C%20agile)')%0A%20%20%20%20_ax.plot(_XE%5B_switch_idx%3A%5D%2C%20_YE%5B_switch_idx%3A%5D%2C%20'--'%2C%20color%3D'%23b2182b'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.7)%0A%20%20%20%20%23%20Start%2C%20direction-change%2C%20and%20capture%20markers%0A%20%20%20%20_ax.plot(_XE%5B0%5D%2C%20_YE%5B0%5D%2C%20'*'%2C%20color%3D'%23b2182b'%2C%20markersize%3D14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20markeredgecolor%3D'black'%2C%20markeredgewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_XE%5B_switch_idx%5D%2C%20_YE%5B_switch_idx%5D%2C%20'D'%2C%20color%3D'%23b2182b'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20markersize%3D8%2C%20markeredgecolor%3D'black'%2C%20markeredgewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_XE%5B-1%5D%2C%20_YE%5B-1%5D%2C%20'o'%2C%20color%3D'%23b2182b'%2C%20markersize%3D8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20markeredgecolor%3D'black'%2C%20markeredgewidth%3D0.5)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Capture%20circle%20at%20final%20pursuer%20position%0A%20%20%20%20_circ%20%3D%20np.linspace(0%2C%202%20*%20np.pi%2C%20100)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_XP%5B-1%5D%20%2B%200.5%20*%20np.cos(_circ)%2C%20_YP%5B-1%5D%20%2B%200.5%20*%20np.sin(_circ)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'--'%2C%20color%3D'gray'%2C%20linewidth%3D1%2C%20alpha%3D0.5%2C%20label%3D'Capture%20radius')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Annotations%0A%20%20%20%20_ax.annotate('Pursuer%20start'%2C%20xy%3D(_XP%5B0%5D%2C%20_YP%5B0%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(_XP%5B0%5D%20%2B%201.5%2C%20_YP%5B0%5D%20%2B%200.7)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D9%2C%20color%3D'%232166ac'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3D'%232166ac'%2C%20lw%3D0.8))%0A%20%20%20%20_ax.annotate('Evader%20start'%2C%20xy%3D(_XE%5B0%5D%2C%20_YE%5B0%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(_XE%5B0%5D%20-%201.5%2C%20_YE%5B0%5D%20%2B%200.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D9%2C%20color%3D'%23b2182b'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3D'%23b2182b'%2C%20lw%3D0.8))%0A%20%20%20%20_ax.annotate('Direction%20change'%2C%20xy%3D(_XE%5B_switch_idx%5D%2C%20_YE%5B_switch_idx%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(_XE%5B_switch_idx%5D%20%2B%200.8%2C%20_YE%5B_switch_idx%5D%20-%200.6)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D9%2C%20color%3D'%23b2182b'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3D'%23b2182b'%2C%20lw%3D0.8))%0A%20%20%20%20_ax.annotate('Capture'%2C%20xy%3D(_XP%5B-1%5D%2C%20_YP%5B-1%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(_XP%5B-1%5D%20%2B%200.8%2C%20_YP%5B-1%5D%20-%200.7)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D9%2C%20color%3D'gray'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3D'gray'%2C%20lw%3D0.8))%0A%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(r'%24X%24')%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(r'%24Y%24')%0A%20%20%20%20_ax.set_aspect('equal')%0A%20%20%20%20_ax.set_title('Optimal%20Pursuit%E2%80%93Evasion%3A%20One%20Complete%20Chase')%0A%20%20%20%20_ax.legend(loc%3D'lower%20left'%2C%20fontsize%3D9)%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**What%20the%20game%20looks%20like.**%20The%20plot%20above%20shows%20one%20complete%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pursuit%E2%80%93evasion%20encounter%20under%20optimal%20play%20by%20both%20sides%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%24w%20%3D%200.45%24%2C%20%24%5Ctilde%7B%5Cell%7D%20%3D%200.5%24).%20The%20pursuer%20(%24%5Cblacktriangleright%24%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20solid%20blue)%20is%20roughly%20twice%20as%20fast%20as%20the%20evader%20(%24%5Cbullet%24%2C%20dashed%0A%20%20%20%20%20%20%20%20red)%2C%20but%20must%20commit%20to%20wide%20sweeping%20turns.%20The%20evader%20is%20slower%0A%20%20%20%20%20%20%20%20but%20can%20change%20direction%20instantly%20%E2%80%94%20notice%20how%20the%20evader's%20path%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kinks%20at%20the%20diamond%20(%24%5CDiamond%24)%2C%20shifting%20heading%20by%20about%2048%24%5E%5Ccirc%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20when%20the%20pursuer%20swings%20around%20and%20the%20game%20crosses%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**dispersal%20surface**.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Along%20each%20segment%20the%20evader%20runs%20in%20a%20straight%20line%20at%20maximum%0A%20%20%20%20%20%20%20%20speed%20%E2%80%94%20this%20is%20optimal%20because%20the%20costate%20rotation%20exactly%20cancels%0A%20%20%20%20%20%20%20%20the%20pursuer's%20heading%20change%20(derived%20in%20%C2%A76).%20But%20the%20game%20can%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cross%20a%20surface%20in%20state%20space%20where%20two%20families%20of%20optimal%0A%20%20%20%20%20%20%20%20characteristics%20meet%3B%20at%20that%20boundary%20the%20evader%20must%20switch%20to%0A%20%20%20%20%20%20%20%20a%20new%20heading%20to%20remain%20on%20the%20optimal%20trajectory.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Stars%20mark%20starting%20positions%3B%20the%20dashed%20gray%20circle%20is%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20capture%20radius%20%24%5Ctilde%7B%5Cell%7D%24%20(defined%20in%20%C2%A73).%20For%20these%0A%20%20%20%20%20%20%20%20parameter%20values%20the%20pursuer%20**can**%20capture%20the%20evader%2C%20but%0A%20%20%20%20%20%20%20%20the%20evader's%20strategy%20forces%20costly%20turning%20arcs%2C%20delaying%0A%20%20%20%20%20%20%20%20capture%20as%20long%20as%20possible.%20(Speed%20alone%20does%20not%20guarantee%0A%20%20%20%20%20%20%20%20capture%20%E2%80%94%20see%20%C2%A710%20on%20deadlock.)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20rest%20of%20this%20notebook%20derives%20the%20**optimal%20strategies**%20for%20both%0A%20%20%20%20%20%20%20%20players%20from%20first%20principles%2C%20computes%20the%20resulting%20trajectories%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20reconstructs%20this%20physical%20picture%20from%20the%20mathematical%20solution.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20We%20will%20return%20to%20this%20forward-time%20view%20with%20interactive%20controls%0A%20%20%20%20%20%20%20%20in%20%C2%A79.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20define_symbols(symbols)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Absolute-frame%20symbols%0A%20%20%20%20x_P%2C%20y_P%2C%20x_E%2C%20y_E%20%3D%20symbols('x_P%20y_P%20x_E%20y_E'%2C%20real%3DTrue)%0A%20%20%20%20theta%20%3D%20symbols('theta'%2C%20real%3DTrue)%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20pursuer%20heading%0A%20%20%20%20psi_lab%20%3D%20symbols('psi_lab'%2C%20real%3DTrue)%20%20%20%20%20%20%23%20evader%20heading%20(lab%20frame)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Physical%20parameters%0A%20%20%20%20v_P%2C%20v_E_sym%20%3D%20symbols('v_P%20v_E'%2C%20positive%3DTrue)%0A%20%20%20%20omega_max%20%3D%20symbols('omega_max'%2C%20positive%3DTrue)%0A%20%20%20%20ell_sym%20%3D%20symbols('ell'%2C%20positive%3DTrue)%20%20%20%20%20%20%23%20capture%20radius%0A%0A%20%20%20%20%23%20Controls%0A%20%20%20%20phi_ctrl%20%3D%20symbols('phi'%2C%20real%3DTrue)%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20pursuer%20turn%20rate%0A%20%20%20%20psi_ctrl%20%3D%20symbols('psi'%2C%20real%3DTrue)%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20evader%20heading%20(relative)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Dimensionless%20parameters%0A%20%20%20%20w%20%3D%20symbols('w'%2C%20positive%3DTrue)%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20speed%20ratio%20v_E%2Fv_P%0A%0A%20%20%20%20%23%20Costate%20(adjoint)%20variables%0A%20%20%20%20p1%2C%20p2%20%3D%20symbols('p_1%20p_2'%2C%20real%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Reduced%20state%20variables%0A%20%20%20%20x1%2C%20x2%20%3D%20symbols('x_1%20x_2'%2C%20real%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Time%0A%20%20%20%20t%20%3D%20symbols('t'%2C%20real%3DTrue)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20p1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20p2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20phi_ctrl%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20psi_ctrl%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20psi_lab%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20theta%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20v_E_sym%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20v_P%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20w%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x2%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20absolute_kinematics(%0A%20%20%20%20Matrix%2C%0A%20%20%20%20cos%2C%0A%20%20%20%20latex%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20phi_ctrl%2C%0A%20%20%20%20psi_lab%2C%0A%20%20%20%20sin%2C%0A%20%20%20%20theta%2C%0A%20%20%20%20v_E_sym%2C%0A%20%20%20%20v_P%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20the%205-DOF%20absolute%20dynamics%0A%20%20%20%20%23%20State%3A%20(x_P%2C%20y_P%2C%20theta%2C%20x_E%2C%20y_E)%0A%20%20%20%20abs_xP_dot%20%3D%20v_P%20*%20cos(theta)%0A%20%20%20%20abs_yP_dot%20%3D%20v_P%20*%20sin(theta)%0A%20%20%20%20abs_theta_dot%20%3D%20phi_ctrl%20%20%20%23%20%7Cphi%7C%20%3C%3D%20omega_max%0A%20%20%20%20abs_xE_dot%20%3D%20v_E_sym%20*%20cos(psi_lab)%0A%20%20%20%20abs_yE_dot%20%3D%20v_E_sym%20*%20sin(psi_lab)%0A%0A%20%20%20%20abs_state_dot%20%3D%20Matrix(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs_xP_dot%2C%20abs_yP_dot%2C%20abs_theta_dot%2C%20abs_xE_dot%2C%20abs_yE_dot%0A%20%20%20%20%5D)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20%C2%A72%20%E2%80%94%20Absolute%20Kinematics%20(5%20DOF)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20In%20the%20lab%20frame%2C%20the%20full%20state%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cmathbf%7B%7Bq%7D%7D%20%3D%20(x_P%2C%20y_P%2C%20%5Ctheta%2C%20x_E%2C%20y_E)%20%5Cin%20%5Cmathbb%7B%7BR%7D%7D%5E5%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20with%20dynamics%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cdot%7B%7B%5Cmathbf%7B%7Bq%7D%7D%7D%7D%20%3D%20%7Blatex(abs_state_dot)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20where%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24%5Ctheta%24%20is%20the%20pursuer's%20heading%20angle%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24%5Cphi%24%20is%20P's%20turn%20rate%20control%2C%20bounded%20%24%7C%5Cphi%7C%20%5Cleq%20%5Comega_%7B%7B%5Cmax%7D%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24%5Cpsi_%7B%7B%5Ctext%7B%7Blab%7D%7D%7D%7D%24%20is%20E's%20heading%20in%20the%20lab%20frame%20(free%20choice%20%24%5Cin%20%5B0%2C%202%5Cpi)%24)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**The%20problem%3A**%205%20dimensions%20is%20high%20for%20analysis.%20But%20since%20only%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*relative*%20geometry%20matters%20(the%20plane%20is%20unbounded%20and%20homogeneous)%2C%20we%0A%20%20%20%20%20%20%20%20can%20eliminate%203%20DOF%20by%20working%20in%20**P's%20body-fixed%20reference%20frame**.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20problem_geometry_plot(mo%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(1%2C%201%2C%20figsize%3D(8%2C%207))%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Pursuer%20---%0A%20%20%20%20_P%20%3D%20np.array(%5B2.0%2C%201.5%5D)%0A%20%20%20%20_theta%20%3D%200.6%20%20%23%20heading%20angle%20(rad)%0A%20%20%20%20_R_min%20%3D%201.8%20%20%23%20turning%20circle%20radius%20(visual%20scale)%0A%20%20%20%20_ell%20%3D%200.5%20%20%20%20%23%20capture%20radius%20(visual%20scale)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Pursuer%20body%20(triangle%20pointing%20along%20heading)%0A%20%20%20%20_size%20%3D%200.35%0A%20%20%20%20_tri%20%3D%20np.array(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_size%2C%200%5D%2C%20%5B-_size%20*%200.5%2C%20_size%20*%200.4%5D%2C%20%5B-_size%20*%200.5%2C%20-_size%20*%200.4%5D%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20_rot%20%3D%20np.array(%5B%5Bnp.cos(_theta)%2C%20-np.sin(_theta)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bnp.sin(_theta)%2C%20%20np.cos(_theta)%5D%5D)%0A%20%20%20%20_tri_rot%20%3D%20(_rot%20%40%20_tri.T).T%20%2B%20_P%0A%20%20%20%20_pursuer_patch%20%3D%20plt.Polygon(_tri_rot%2C%20fc%3D'%232855a1'%2C%20ec%3D'black'%2C%20lw%3D1.5%2C%20zorder%3D5)%0A%20%20%20%20_ax.add_patch(_pursuer_patch)%0A%20%20%20%20_ax.annotate(r'%24P%24'%2C%20_P%20%2B%20np.array(%5B-0.5%2C%20-0.4%5D)%2C%20fontsize%3D14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontweight%3D'bold'%2C%20color%3D'%232855a1')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Heading%20arrow%0A%20%20%20%20_head_len%20%3D%201.2%0A%20%20%20%20_ax.annotate(''%2C%20xy%3D_P%20%2B%20_head_len%20*%20np.array(%5Bnp.cos(_theta)%2C%20np.sin(_theta)%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D_P%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3D'%232855a1'%2C%20lw%3D2))%0A%20%20%20%20_ax.annotate(r'%24v_P%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_P%20%2B%200.7%20*%20np.array(%5Bnp.cos(_theta)%2C%20np.sin(_theta)%5D)%20%2B%20np.array(%5B0.1%2C%200.2%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D12%2C%20color%3D'%232855a1')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Heading%20angle%20arc%0A%20%20%20%20_arc_angles%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_theta%2C%2030)%0A%20%20%20%20_arc_r%20%3D%200.7%0A%20%20%20%20_ax.plot(_P%5B0%5D%20%2B%20_arc_r%20*%20np.cos(_arc_angles)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_P%5B1%5D%20%2B%20_arc_r%20*%20np.sin(_arc_angles)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'-'%2C%20color%3D'%232855a1'%2C%20lw%3D1%2C%20alpha%3D0.7)%0A%20%20%20%20_ax.annotate(r'%24%5Ctheta%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_P%20%2B%20(_arc_r%20%2B%200.1)%20*%20np.array(%5Bnp.cos(_theta%20%2F%202)%2C%20np.sin(_theta%20%2F%202)%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D13%2C%20color%3D'%232855a1')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Minimum%20turning%20circle%0A%20%20%20%20_turn_center%20%3D%20_P%20%2B%20_R_min%20*%20np.array(%5B-np.sin(_theta)%2C%20np.cos(_theta)%5D)%0A%20%20%20%20_circle_theta%20%3D%20np.linspace(0%2C%202%20*%20np.pi%2C%20100)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_turn_center%5B0%5D%20%2B%20_R_min%20*%20np.cos(_circle_theta)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_turn_center%5B1%5D%20%2B%20_R_min%20*%20np.sin(_circle_theta)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'--'%2C%20color%3D'%232855a1'%2C%20lw%3D1%2C%20alpha%3D0.4)%0A%20%20%20%20_ax.annotate(r'%24R_%7B%5Cmin%7D%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_turn_center%20%2B%20np.array(%5B_R_min%20*%200.5%2C%20_R_min%20*%200.3%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D11%2C%20color%3D'%232855a1'%2C%20alpha%3D0.7)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Capture%20radius%20around%20pursuer%0A%20%20%20%20_cap_theta%20%3D%20np.linspace(0%2C%202%20*%20np.pi%2C%2080)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_P%5B0%5D%20%2B%20_ell%20*%20np.cos(_cap_theta)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_P%5B1%5D%20%2B%20_ell%20*%20np.sin(_cap_theta)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'%3A'%2C%20color%3D'gray'%2C%20lw%3D1.5%2C%20alpha%3D0.8)%0A%20%20%20%20_ax.annotate(r'%24%5Cell%24'%2C%20_P%20%2B%20np.array(%5B_ell%20%2B%200.1%2C%200.1%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D11%2C%20color%3D'gray')%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Evader%20---%0A%20%20%20%20_E%20%3D%20np.array(%5B4.5%2C%203.2%5D)%0A%20%20%20%20_psi%20%3D%202.3%20%20%23%20evader%20heading%20(rad)%0A%0A%20%20%20%20_ax.plot(*_E%2C%20'o'%2C%20color%3D'%23c0392b'%2C%20markersize%3D10%2C%20zorder%3D5)%0A%20%20%20%20_ax.annotate(r'%24E%24'%2C%20_E%20%2B%20np.array(%5B0.2%2C%20-0.3%5D)%2C%20fontsize%3D14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontweight%3D'bold'%2C%20color%3D'%23c0392b')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Evader%20velocity%20arrow%0A%20%20%20%20_ev_len%20%3D%200.8%0A%20%20%20%20_ax.annotate(''%2C%20xy%3D_E%20%2B%20_ev_len%20*%20np.array(%5Bnp.cos(_psi)%2C%20np.sin(_psi)%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D_E%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3D'%23c0392b'%2C%20lw%3D2))%0A%20%20%20%20_ax.annotate(r'%24v_E%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_E%20%2B%200.5%20*%20np.array(%5Bnp.cos(_psi)%2C%20np.sin(_psi)%5D)%20%2B%20np.array(%5B-0.5%2C%200.1%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D12%2C%20color%3D'%23c0392b')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Evader%20heading%20angle%20arc%0A%20%20%20%20_psi_arc%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_psi%2C%2030)%0A%20%20%20%20_psi_r%20%3D%200.45%0A%20%20%20%20_ax.plot(_E%5B0%5D%20%2B%20_psi_r%20*%20np.cos(_psi_arc)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_E%5B1%5D%20%2B%20_psi_r%20*%20np.sin(_psi_arc)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'-'%2C%20color%3D'%23c0392b'%2C%20lw%3D1%2C%20alpha%3D0.7)%0A%20%20%20%20_ax.annotate(r'%24%5Cpsi_%7B%5Cmathrm%7Blab%7D%7D%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_E%20%2B%20(_psi_r%20%2B%200.15)%20*%20np.array(%5Bnp.cos(_psi%20*%200.5)%2C%20np.sin(_psi%20*%200.5)%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D12%2C%20color%3D'%23c0392b')%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Distance%20line%20P%20to%20E%20---%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_P%5B0%5D%2C%20_E%5B0%5D%5D%2C%20%5B_P%5B1%5D%2C%20_E%5B1%5D%5D%2C%20'k--'%2C%20lw%3D1%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_mid%20%3D%200.5%20*%20(_P%20%2B%20_E)%0A%20%20%20%20_ax.annotate(r'%24r%24'%2C%20_mid%20%2B%20np.array(%5B0.1%2C%20-0.3%5D)%2C%20fontsize%3D12)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Lab%20frame%20axes%20---%0A%20%20%20%20_ax.annotate(''%2C%20xy%3D(6.5%2C%200.0)%2C%20xytext%3D(0.0%2C%200.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3D'black'%2C%20lw%3D1.2))%0A%20%20%20%20_ax.annotate(''%2C%20xy%3D(0.0%2C%205.5)%2C%20xytext%3D(0.0%2C%200.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3D'black'%2C%20lw%3D1.2))%0A%20%20%20%20_ax.text(6.3%2C%20-0.35%2C%20r'%24x%24'%2C%20fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax.text(-0.35%2C%205.3%2C%20r'%24y%24'%2C%20fontsize%3D13)%0A%0A%20%20%20%20_ax.set_xlim(-1.5%2C%207)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylim(-1.0%2C%206)%0A%20%20%20%20_ax.set_aspect('equal')%0A%20%20%20%20_ax.set_title('Problem%20Geometry%20%E2%80%94%20Lab%20Frame'%2C%20fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.15)%0A%20%20%20%20%23%20Remove%20axis%20ticks%20for%20a%20cleaner%20schematic%0A%20%20%20%20_ax.set_xticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20_ax.set_yticks(%5B%5D)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20pursuer%20**P**%20(blue%20triangle)%20moves%20at%20speed%20%24v_P%24%20along%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20heading%20%24%5Ctheta%24%2C%20constrained%20to%20turn%20within%20a%20circle%20of%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20radius%20%24R_%7B%5Cmin%7D%20%3D%20v_P%20%2F%20%5Comega_%7B%5Cmax%7D%24%20(dashed%20blue).%20The%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20evader%20**E**%20(red%20dot)%20moves%20at%20speed%20%24v_E%20%3C%20v_P%24%20in%20any%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20direction%20%24%5Cpsi_%7B%5Ctext%7Blab%7D%7D%24.%20Capture%20occurs%20when%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5C%7CP%20-%20E%5C%7C%20%5Cleq%20%5Cell%24%20(gray%20dotted%20circle).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20key%20tension%3A%20**P%20is%20faster%20but%20less%20agile.**%20The%20minimum%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20turning%20radius%20prevents%20P%20from%20making%20sharp%20turns%2C%20while%20E%20can%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20change%20direction%20instantly.%20This%20mismatch%20is%20what%20makes%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20game%20non-trivial%20%E2%80%94%20raw%20speed%20alone%20does%20not%20guarantee%20capture.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20reduction_setup(cos%2C%20diff%2C%20latex%2C%20mo%2C%20sin%2C%20sp%2C%20t)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20time-dependent%20functions%20for%20the%20derivation%0A%20%20%20%20x_P_t%2C%20y_P_t%20%3D%20sp.Function('x_P')(t)%2C%20sp.Function('y_P')(t)%0A%20%20%20%20x_E_t%2C%20y_E_t%20%3D%20sp.Function('x_E')(t)%2C%20sp.Function('y_E')(t)%0A%20%20%20%20theta_t%20%3D%20sp.Function('theta')(t)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Relative%20position%20in%20lab%20frame%0A%20%20%20%20Delta_x%20%3D%20x_E_t%20-%20x_P_t%0A%20%20%20%20Delta_y%20%3D%20y_E_t%20-%20y_P_t%0A%0A%20%20%20%20%23%20Body-frame%20coordinates%20(x2%20along%20P's%20velocity%2C%20x1%20perpendicular)%0A%20%20%20%20x1_expr%20%3D%20-Delta_x%20*%20sin(theta_t)%20%2B%20Delta_y%20*%20cos(theta_t)%0A%20%20%20%20x2_expr%20%3D%20%20Delta_x%20*%20cos(theta_t)%20%2B%20Delta_y%20*%20sin(theta_t)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Differentiate%20w.r.t.%20time%0A%20%20%20%20x1_dot_raw%20%3D%20diff(x1_expr%2C%20t)%0A%20%20%20%20x2_dot_raw%20%3D%20diff(x2_expr%2C%20t)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20%C2%A73%20%E2%80%94%20Reduction%20to%20Relative%20(Body-Frame)%20Coordinates%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20We%20attach%20a%20coordinate%20frame%20to%20the%20pursuer%20P%2C%20with%20%24x_2%24%20along%20P's%0A%20%20%20%20%20%20%20%20velocity%20vector%20and%20%24x_1%24%20perpendicular%20to%20it.%20The%20relative%20position%0A%20%20%20%20%20%20%20%20of%20E%20in%20this%20frame%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_1%20%3D%20-(x_E%20-%20x_P)%5Csin%5Ctheta%20%2B%20(y_E%20-%20y_P)%5Ccos%5Ctheta%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_2%20%3D%20(x_E%20-%20x_P)%5Ccos%5Ctheta%20%2B%20(y_E%20-%20y_P)%5Csin%5Ctheta%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20We%20define%20these%20as%20SymPy%20expressions%20built%20from%20%60sp.Function%60%20objects%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(time-dependent%20unknowns)%2C%20then%20call%20%60sp.diff(...%2C%20t)%60%20to%20differentiate%0A%20%20%20%20%20%20%20%20with%20respect%20to%20time.%20SymPy%20applies%20the%20product%20and%20chain%20rules%0A%20%20%20%20%20%20%20%20automatically%2C%20producing%20raw%20derivatives%20that%20still%20contain%20abstract%0A%20%20%20%20%20%20%20%20terms%20like%20%24%5Cfrac%7B%7Bd%7D%7D%7B%7Bdt%7D%7Dx_P(t)%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cdot%7B%7Bx%7D%7D_1%5Cbig%7C_%7B%7B%5Ctext%7B%7Braw%7D%7D%7D%7D%20%3D%20%7Blatex(x1_dot_raw)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cdot%7B%7Bx%7D%7D_2%5Cbig%7C_%7B%7B%5Ctext%7B%7Braw%7D%7D%7D%7D%20%3D%20%7Blatex(x2_dot_raw)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20These%20are%20correct%20but%20not%20yet%20useful%20%E2%80%94%20we%20need%20to%20substitute%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20known%20dynamics%20from%20%C2%A72.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20theta_t%2C%20x1_dot_raw%2C%20x2_dot_raw%2C%20x_E_t%2C%20x_P_t%2C%20y_E_t%2C%20y_P_t%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20reduction_substitute(%0A%20%20%20%20cos%2C%0A%20%20%20%20diff%2C%0A%20%20%20%20expand_trig%2C%0A%20%20%20%20latex%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20phi_ctrl%2C%0A%20%20%20%20psi_lab%2C%0A%20%20%20%20sin%2C%0A%20%20%20%20t%2C%0A%20%20%20%20theta_t%2C%0A%20%20%20%20trigsimp%2C%0A%20%20%20%20v_E_sym%2C%0A%20%20%20%20v_P%2C%0A%20%20%20%20x1_dot_raw%2C%0A%20%20%20%20x2_dot_raw%2C%0A%20%20%20%20x_E_t%2C%0A%20%20%20%20x_P_t%2C%0A%20%20%20%20y_E_t%2C%0A%20%20%20%20y_P_t%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Substitution%20rules%20from%20the%20absolute%20dynamics%0A%20%20%20%20deriv_subs%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diff(x_P_t%2C%20t)%3A%20v_P%20*%20cos(theta_t)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diff(y_P_t%2C%20t)%3A%20v_P%20*%20sin(theta_t)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diff(theta_t%2C%20t)%3A%20phi_ctrl%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diff(x_E_t%2C%20t)%3A%20v_E_sym%20*%20cos(psi_lab)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diff(y_E_t%2C%20t)%3A%20v_E_sym%20*%20sin(psi_lab)%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20x1_dot_sub%20%3D%20x1_dot_raw.subs(deriv_subs)%0A%20%20%20%20x2_dot_sub%20%3D%20x2_dot_raw.subs(deriv_subs)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Simplify%20using%20trig%20identities%0A%20%20%20%20x1_dot_simplified%20%3D%20trigsimp(expand_trig(x1_dot_sub))%0A%20%20%20%20x2_dot_simplified%20%3D%20trigsimp(expand_trig(x2_dot_sub))%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Now%20we%20substitute%20the%20known%20%C2%A72%20dynamics%20into%20the%20raw%20derivatives%0A%20%20%20%20%20%20%20%20using%20%60.subs()%60%20%E2%80%94%20replacing%20each%20%24%5Cfrac%7B%7Bd%7D%7D%7B%7Bdt%7D%7Dx_P(t)%24%20with%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24v_P%5Ccos%5Ctheta%24%2C%20and%20so%20on.%20Then%20%60trigsimp(expand_trig(...))%60%0A%20%20%20%20%20%20%20%20collapses%20the%20resulting%20trig%20expressions%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cdot%7B%7Bx%7D%7D_1%20%3D%20%7Blatex(x1_dot_simplified)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cdot%7B%7Bx%7D%7D_2%20%3D%20%7Blatex(x2_dot_simplified)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20These%20expressions%20still%20contain%20%24%5Ctheta%24%20and%20%24%5Cpsi_%7B%7B%5Ctext%7B%7Blab%7D%7D%7D%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20individually.%20To%20complete%20the%20reduction%2C%20we%20define%20the%20**relative%0A%20%20%20%20%20%20%20%20heading**%20%24%5Cpsi%20%3D%20%5Cpsi_%7B%7B%5Ctext%7B%7Blab%7D%7D%7D%7D%20-%20%5Ctheta%24%2C%20which%20is%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20evader's%20heading%20in%20P's%20body%20frame.%20After%20this%20substitution%2C%20%24%5Ctheta%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20drops%20out%20entirely.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20x1_dot_simplified%2C%20x2_dot_simplified%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20reduced_dynamics(%0A%20%20%20%20cos%2C%0A%20%20%20%20expand_trig%2C%0A%20%20%20%20latex%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20phi_ctrl%2C%0A%20%20%20%20psi_ctrl%2C%0A%20%20%20%20psi_lab%2C%0A%20%20%20%20simplify%2C%0A%20%20%20%20sin%2C%0A%20%20%20%20theta_t%2C%0A%20%20%20%20trigsimp%2C%0A%20%20%20%20v_E_sym%2C%0A%20%20%20%20v_P%2C%0A%20%20%20%20w%2C%0A%20%20%20%20x1%2C%0A%20%20%20%20x1_dot_simplified%2C%0A%20%20%20%20x2%2C%0A%20%20%20%20x2_dot_simplified%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Substitute%20psi_lab%20%3D%20psi%20%2B%20theta(t)%2C%20then%20simplify.%0A%20%20%20%20%23%20We%20use%20theta_t%20(the%20Function%20object)%20so%20it%20cancels%20with%20the%20theta(t)%0A%20%20%20%20%23%20already%20present%20in%20the%20expressions%20from%20the%20body-frame%20derivation.%0A%20%20%20%20_x1_dot_rel%20%3D%20trigsimp(expand_trig(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x1_dot_simplified.subs(psi_lab%2C%20psi_ctrl%20%2B%20theta_t)%0A%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20_x2_dot_rel%20%3D%20trigsimp(expand_trig(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x2_dot_simplified.subs(psi_lab%2C%20psi_ctrl%20%2B%20theta_t)%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Now%20substitute%20the%20dimensionless%20form%3A%20v_P%20%3D%201%2C%20v_E%20%3D%20w%0A%20%20%20%20_x1_dot_dimless%20%3D%20simplify(_x1_dot_rel.subs(v_E_sym%2C%20w%20*%20v_P).subs(v_P%2C%201))%0A%20%20%20%20_x2_dot_dimless%20%3D%20simplify(_x2_dot_rel.subs(v_E_sym%2C%20w%20*%20v_P).subs(v_P%2C%201))%0A%0A%20%20%20%20%23%20The%20derivation%20above%20proves%20the%20canonical%20Isaacs%20form.%20However%2C%20the%0A%20%20%20%20%23%20derived%20expressions%20still%20contain%20Function%20objects%20(x_P(t)%2C%20y_P(t)%2C%20etc.)%0A%20%20%20%20%23%20that%20SymPy%20cannot%20automatically%20identify%20as%20the%20reduced%20coordinates%20x1%2C%20x2.%0A%20%20%20%20%23%20We%20therefore%20state%20the%20canonical%20form%20explicitly%20using%20the%20reduced%20symbols%2C%0A%20%20%20%20%23%20which%20downstream%20cells%20(Hamiltonian%2C%20lambdification)%20require.%0A%20%20%20%20f1%20%3D%20-phi_ctrl%20*%20x2%20%2B%20w%20*%20sin(psi_ctrl)%0A%20%20%20%20f2%20%3D%20%20phi_ctrl%20*%20x1%20%2B%20w%20*%20cos(psi_ctrl)%20-%201%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20We%20substitute%20%24%5Cpsi_%7B%7B%5Ctext%7B%7Blab%7D%7D%7D%7D%20%3D%20%5Cpsi%20%2B%20%5Ctheta%24%20via%20%60.subs()%60%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20apply%20%60trigsimp%60%20%E2%80%94%20the%20heading%20%24%5Ctheta%24%20cancels%20out%20of%20every%20term.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Normalizing%20%24v_P%20%3D%201%24%20and%20%24v_E%20%3D%20w%20%5Ccdot%20v_P%24%20(Isaacs'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20convention)%20gives%20the%20**reduced%20dynamics%20in%20dimensionless%20form**%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cdot%7B%7Bx%7D%7D_1%20%3D%20%7Blatex(f1)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cdot%7B%7Bx%7D%7D_2%20%3D%20%7Blatex(f2)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20where%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24%5Cphi%20%5Cin%20%5B-%5Comega_%7B%7B%5Cmax%7D%7D%2C%20%5Comega_%7B%7B%5Cmax%7D%7D%5D%24%20%E2%80%94%20pursuer's%20turn%20rate%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20control%20(after%20normalization%20with%20%24R_%7B%7B%5Cmin%7D%7D%20%3D%201%24%3A%20%24%7C%5Cphi%7C%20%5Cleq%201%24)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24%5Cpsi%20%5Cin%20%5B0%2C%202%5Cpi)%24%20%E2%80%94%20evader's%20heading%20in%20P's%20body%20frame%20(free%20choice)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24w%20%3D%20v_E%20%2F%20v_P%24%20%E2%80%94%20speed%20ratio%20(dimensionless)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20state%20space%20is%20now%202D%3A%20%24(x_1%2C%20x_2)%20%5Cin%20%5Cmathbb%7B%7BR%7D%7D%5E2%24%2C%20with%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20origin%20at%20P's%20position.%20**Capture**%20occurs%20when%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24x_1%5E2%20%2B%20x_2%5E2%20%5Cleq%20%5Ctilde%7B%7B%5Cell%7D%7D%5E2%24%2C%20where%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Ctilde%7B%7B%5Cell%7D%7D%20%3D%20%5Cell%20%2F%20R_%7B%7B%5Cmin%7D%7D%20%3D%20%5Cell%20%5Ccdot%20%5Comega_%7B%7B%5Cmax%7D%7D%20%2F%20v_P%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20is%20the%20**dimensionless%20capture%20radius**.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%205D%20%24%5Cto%24%202D%20reduction%20is%20what%20makes%20the%20HC%20problem%20analytically%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tractable%20and%20geometrically%20beautiful.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20f1%2C%20f2%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20parameter_sliders(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Physical%20Parameters%0A%0A%20%20%20%20The%20sliders%20below%20control%20the%20**physical**%20parameters%20of%20the%20game.%0A%20%20%20%20We%20fix%20the%20pursuer%20speed%20%24v_P%20%3D%201%24%20(without%20loss%20of%20generality%20%E2%80%94%20this%0A%20%20%20%20sets%20the%20time%20scale).%0A%0A%20%20%20%20**Domain%20constraints**%20(to%20keep%20us%20in%20the%20interesting%20regime)%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20%240%20%3C%20v_E%20%3C%20v_P%24%20%E2%80%94%20the%20full%20physical%20range%20is%20available.%20At%20the%0A%20%20%20%20%20%20boundary%20cases%3A%20when%20%24v_E%20%2F%20v_P%20%5Cto%200%24%2C%20the%20evader%20is%20nearly%0A%20%20%20%20%20%20stationary%20and%20the%20problem%20degenerates%20into%20simple%20Dubins-path%0A%20%20%20%20%20%20pursuit%20%E2%80%94%20the%20turning%20constraint%20barely%20matters.%20When%0A%20%20%20%20%20%20%24v_E%20%2F%20v_P%20%5Cto%201%24%2C%20the%20pursuer's%20speed%20advantage%20vanishes%20and%0A%20%20%20%20%20%20capture%20becomes%20trivial%20to%20avoid%20regardless%20of%20turning.%20The%20most%0A%20%20%20%20%20%20interesting%20dynamics%20occur%20for%20%24w%20%5Cin%20%5B0.25%2C%200.5%5D%24%2C%20where%20the%0A%20%20%20%20%20%20interplay%20between%20speed%20advantage%20and%20turning%20constraint%20is%20decisive.%0A%0A%20%20%20%20-%20%24%5Comega_%7B%5Cmax%7D%20%5Cin%20%5B0.5%2C%203.0%5D%24%20%E2%80%94%20the%20pursuer's%20maximum%20turn%20rate.%0A%20%20%20%20%20%20Lower%20values%20mean%20a%20large%2C%20sluggish%20turning%20circle%20(harder%20to%20catch%0A%20%20%20%20%20%20agile%20evaders)%3B%20higher%20values%20mean%20a%20tighter%20turn%20(approaching%20a%0A%20%20%20%20%20%20point-turning%20vehicle%2C%20which%20trivializes%20the%20game).%0A%0A%20%20%20%20-%20%24%5Cell%20%5Cin%20%5B0.1%2C%201.5%5D%24%20%E2%80%94%20capture%20radius.%20This%20is%20the%20physical%20distance%0A%20%20%20%20%20%20at%20which%20we%20declare%20%22caught.%22%20Larger%20values%20favor%20the%20pursuer.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20create_sliders(mo)%3A%0A%20%20%20%20v_E_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.05%2C%20stop%3D0.95%2C%20step%3D0.05%2C%20value%3D0.45%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24v_E%24%20(evader%20max%20speed)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20omega_max_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.5%2C%20stop%3D3.0%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24%5Comega_%7B%5Cmax%7D%24%20(pursuer%20max%20turn%20rate)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ell_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.1%2C%20stop%3D1.5%2C%20step%3D0.05%2C%20value%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24%5Cell%24%20(capture%20radius)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bv_E_slider%2C%20omega_max_slider%2C%20ell_slider%5D)%0A%20%20%20%20return%20ell_slider%2C%20omega_max_slider%2C%20v_E_slider%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20derived_parameters(ell_slider%2C%20omega_max_slider%2C%20v_E_slider)%3A%0A%20%20%20%20v_E_val%20%3D%20v_E_slider.value%0A%20%20%20%20omega_val%20%3D%20omega_max_slider.value%0A%20%20%20%20ell_val%20%3D%20ell_slider.value%0A%0A%20%20%20%20v_P_val%20%3D%201.0%20%20%23%20fixed%0A%0A%20%20%20%20%23%20Derived%20dimensionless%20parameters%0A%20%20%20%20w_val%20%3D%20v_E_val%20%2F%20v_P_val%0A%20%20%20%20R_min_val%20%3D%20v_P_val%20%2F%20omega_val%0A%20%20%20%20ell_tilde_val%20%3D%20ell_val%20%2F%20R_min_val%0A%20%20%20%20return%20R_min_val%2C%20ell_tilde_val%2C%20ell_val%2C%20omega_val%2C%20v_E_val%2C%20w_val%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20show_parameters(%0A%20%20%20%20R_min_val%2C%0A%20%20%20%20ell_tilde_val%2C%0A%20%20%20%20ell_val%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20omega_val%2C%0A%20%20%20%20v_E_val%2C%0A%20%20%20%20w_val%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Current%20Configuration%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Physical%20Parameter%20%7C%20Value%20%7C%20Description%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24v_P%24%20%7C%20%241.0%24%20(fixed)%20%7C%20Pursuer%20speed%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24v_E%24%20%7C%20%24%7Bv_E_val%3A.2f%7D%24%20%7C%20Evader%20max%20speed%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Comega_%7B%7B%5Cmax%7D%7D%24%20%7C%20%24%7Bomega_val%3A.1f%7D%24%20%7C%20Pursuer%20max%20turn%20rate%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24R_%7B%7B%5Cmin%7D%7D%20%3D%20v_P%20%2F%20%5Comega_%7B%7B%5Cmax%7D%7D%24%20%7C%20%24%7BR_min_val%3A.3f%7D%24%20%7C%20Pursuer%20min%20turning%20radius%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cell%24%20%7C%20%24%7Bell_val%3A.2f%7D%24%20%7C%20Capture%20radius%20%7C%0A%0A%20%20%20%20**Dimensionless%20parameters**%20(Isaacs'%20normalization%20%24v_P%20%3D%201%2C%20R_%7B%7B%5Cmin%7D%7D%20%3D%201%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Parameter%20%7C%20Expression%20%7C%20Value%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24w%20%3D%20v_E%20%2F%20v_P%24%20%7C%20speed%20ratio%20%7C%20%24%7Bw_val%3A.3f%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Ctilde%7B%7B%5Cell%7D%7D%20%3D%20%5Cell%20%2F%20R_%7B%7B%5Cmin%7D%7D%24%20%7C%20normalized%20capture%20radius%20%7C%20%24%7Bell_tilde_val%3A.3f%7D%24%20%7C%0A%0A%20%20%20%20The%20dynamics%20in%20dimensionless%20form%20depend%20only%20on%20%24w%24%20and%0A%20%20%20%20%24%5Ctilde%7B%7B%5Cell%7D%7D%24.%20The%20three%20physical%20sliders%20map%20to%20this%202D%20parameter%0A%20%20%20%20space%20%E2%80%94%20note%20that%20%24%5Comega_%7B%7B%5Cmax%7D%7D%24%20and%20%24%5Cell%24%20both%20affect%0A%20%20%20%20%24%5Ctilde%7B%7B%5Cell%7D%7D%24%20(a%20larger%20turn%20rate%20or%20a%20larger%20capture%20radius%20both%0A%20%20%20%20make%20capture%20easier%20in%20normalized%20terms).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20game_formulation(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20%C2%A74%20%E2%80%94%20The%20Differential%20Game%0A%0A%20%20%20%20The%20HC%20problem%20has%20the%20structure%20of%20a%20**two-person%2C%20zero-sum%2C%0A%20%20%20%20continuous-time%20differential%20game**%3A%0A%0A%20%20%20%20**State%3A**%20%24%5Cmathbf%7Bx%7D%20%3D%20(x_1%2C%20x_2)%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%24%20(evader%20position%0A%20%20%20%20in%20pursuer's%20body%20frame)%0A%0A%20%20%20%20**Controls%3A**%0A%20%20%20%20-%20P%20chooses%20turn%20rate%20%24%5Cphi%20%5Cin%20%5B-1%2C%201%5D%24%20(after%20normalization)%0A%20%20%20%20-%20E%20chooses%20heading%20%24%5Cpsi%20%5Cin%20%5B0%2C%202%5Cpi)%24%0A%0A%20%20%20%20**Dynamics%3A**%20%24%5Cdot%7B%5Cmathbf%7Bx%7D%7D%20%3D%20f(%5Cmathbf%7Bx%7D%2C%20%5Cphi%2C%20%5Cpsi)%24%20as%20derived%20above%0A%0A%20%20%20%20**Terminal%20set%3A**%20%24%5Cmathcal%7BM%7D%20%3D%20%5C%7B%5Cmathbf%7Bx%7D%20%3A%20x_1%5E2%20%2B%20x_2%5E2%20%5Cleq%20%5Ctilde%7B%5Cell%7D%5E2%5C%7D%24%0A%0A%20%20%20%20**Payoff%3A**%20Capture%20time%20%24T%20%3D%20%5Cinf%5C%7Bt%20%5Cgeq%200%20%3A%20%5Cmathbf%7Bx%7D(t)%20%5Cin%20%5Cmathcal%7BM%7D%5C%7D%24%0A%0A%20%20%20%20**Objective%3A**%20P%20minimizes%20%24T%24%3B%20E%20maximizes%20%24T%24%20(or%20drives%20%24T%20%5Cto%20%5Cinfty%24)%0A%0A%20%20%20%20The%20**value%20function**%20%24V(%5Cmathbf%7Bx%7D)%24%20gives%20the%20optimal%20capture%20time%0A%20%20%20%20from%20state%20%24%5Cmathbf%7Bx%7D%24%20under%20best%20play%20by%20both%20sides.%20It%20satisfies%0A%20%20%20%20the%20**Hamilton-Jacobi-Isaacs%20(HJI)%20equation**%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cmin_%5Cphi%20%5Cmax_%5Cpsi%20%5Cleft%5B%20%5Cnabla%20V%20%5Ccdot%20f(%5Cmathbf%7Bx%7D%2C%20%5Cphi%2C%20%5Cpsi)%20%5Cright%5D%20%2B%201%20%3D%200%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20with%20boundary%20condition%20%24V(%5Cmathbf%7Bx%7D)%20%3D%200%24%20on%20%24%5Cpartial%20%5Cmathcal%7BM%7D%24.%0A%20%20%20%20The%20%24%2B1%24%20arises%20because%20we%20are%20minimizing%20time%20%E2%80%94%20each%20instant%20of%0A%20%20%20%20continued%20play%20costs%20%24%2B1%24%20unit%20of%20payoff.%0A%0A%20%20%20%20Isaacs'%20key%20insight%20was%20that%20if%20the%20game%20has%20a%20**saddle%20point%20in%20pure%0A%20%20%20%20strategies**%20%E2%80%94%20i.e.%2C%20the%20min%20and%20max%20commute%20%E2%80%94%20then%20the%20value%20function%0A%20%20%20%20exists%20and%20can%20be%20computed%20via%20the%20method%20of%20characteristics.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20why_backward(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Why%20backward%3F%20Why%20reduced%20coordinates%3F%0A%0A%20%20%20%20Two%20design%20choices%20shape%20every%20computation%20that%20follows.%20Both%20are%20standard%0A%20%20%20%20in%20differential-game%20theory%2C%20but%20they%20deserve%20explicit%20motivation.%0A%0A%20%20%20%20**Backward%20integration%20from%20the%20capture%20surface.**%20The%20HJI%20equation%20above%0A%20%20%20%20is%20a%20*boundary-value*%20problem%3A%20we%20know%20%24V%20%3D%200%24%20on%20the%20capture%20set%0A%20%20%20%20%24%5Cpartial%5Cmathcal%7BM%7D%24%2C%20and%20we%20want%20%24V(%5Cmathbf%7Bx%7D)%24%20everywhere%20else.%0A%20%20%20%20The%20method%20of%20characteristics%20converts%20this%20PDE%20into%20a%20family%20of%20ODEs%0A%20%20%20%20(the%20%22characteristic%20equations%22)%20that%20originate%20on%20the%20boundary%20and%0A%20%20%20%20propagate%20outward.%20Because%20higher%20values%20of%20%24V%24%20lie%20*farther*%20from%0A%20%20%20%20capture%2C%20propagating%20outward%20means%20marching%20*backward*%20in%20physical%20time%0A%20%20%20%20%E2%80%94%20from%20the%20moment%20of%20capture%20toward%20earlier%20states.%20This%20is%20the%20only%0A%20%20%20%20direction%20in%20which%20the%20problem%20is%20well-posed%3A%20forward%20integration%20would%0A%20%20%20%20require%20knowing%20the%20value%20function%20at%20some%20initial%20time%20%24t%20%3D%200%24%2C%20which%0A%20%20%20%20is%20precisely%20the%20quantity%20we%20are%20solving%20for.%0A%0A%20%20%20%20**Body-frame%20reduction.**%20The%20original%20pursuit%E2%80%93evasion%20game%20lives%20in%20a%0A%20%20%20%205-dimensional%20state%20space%20%24(x_P%2C%20y_P%2C%20%5Ctheta%2C%20x_E%2C%20y_E)%24.%20But%20the%0A%20%20%20%20optimal%20strategies%20depend%20only%20on%20the%20*relative%20geometry*%20%E2%80%94%20the%20evader's%0A%20%20%20%20position%20as%20seen%20from%20the%20pursuer's%20heading.%20The%20body-frame%20coordinates%0A%20%20%20%20%24(x_1%2C%20x_2)%24%20introduced%20in%20%C2%A73%20collapse%20three%20degrees%20of%20freedom%20(the%0A%20%20%20%20pursuer's%20absolute%20position%20and%20heading)%20into%20a%202D%20system.%20This%20makes%0A%20%20%20%20the%20characteristic%20ODEs%20tractable%20and%20the%20reachable%20set%20visualizable.%0A%0A%20%20%20%20The%20price%20of%20these%20simplifications%20is%20that%20the%20plots%20below%20show%0A%20%20%20%20*reduced-coordinate%2C%20backward-time*%20trajectories%20%E2%80%94%20not%20the%20physical%0A%20%20%20%20chase%20a%20camera%20would%20record.%20Later%20in%20%C2%A79%20we%20will%20**lift**%20the%20reduced%0A%20%20%20%20solution%20back%20to%20physical%20coordinates%2C%20reconstructing%20the%20forward-time%0A%20%20%20%20lab-frame%20pursuit%20as%20a%20sanity%20check%20and%20to%20build%20geometric%20intuition%0A%20%20%20%20for%20the%20game%20itself.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20build_hamiltonian(f1%2C%20f2%2C%20latex%2C%20mo%2C%20p1%2C%20p2%2C%20phi_ctrl%2C%20sp)%3A%0A%20%20%20%20%23%20The%20Hamiltonian%20for%20the%20time-optimal%20differential%20game%3A%0A%20%20%20%20%23%20H%20%3D%20p%20%C2%B7%20f(x%2C%20phi%2C%20psi)%20%2B%201%0A%20%20%20%20%23%20where%20p%20%3D%20(p1%2C%20p2)%20%3D%20nabla%20V%20(costate%20%2F%20adjoint)%0A%20%20%20%20H%20%3D%20p1%20*%20f1%20%2B%20p2%20*%20f2%20%2B%201%0A%20%20%20%20H_expanded%20%3D%20sp.expand(H)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Collect%20terms%20by%20control%20variable%20to%20expose%20structure%0A%20%20%20%20H_by_phi%20%3D%20sp.collect(H_expanded%2C%20phi_ctrl)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20%C2%A75%20%E2%80%94%20The%20Hamiltonian%20%26%20Optimal%20Controls%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20Hamiltonian%20of%20the%20time-optimal%20differential%20game%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20H(%5Cmathbf%7B%7Bx%7D%7D%2C%20%5Cmathbf%7B%7Bp%7D%7D%2C%20%5Cphi%2C%20%5Cpsi)%20%3D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cmathbf%7B%7Bp%7D%7D%20%5Ccdot%20f(%5Cmathbf%7B%7Bx%7D%7D%2C%20%5Cphi%2C%20%5Cpsi)%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20where%20%24%5Cmathbf%7B%7Bp%7D%7D%20%3D%20(p_1%2C%20p_2)%20%3D%20%5Cnabla%20V%24%20is%20the%20costate%20(adjoint)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20vector.%20We%20construct%20%24H%24%20symbolically%20from%20the%20%24f_1%2C%20f_2%24%20expressions%0A%20%20%20%20%20%20%20%20derived%20in%20%C2%A73%2C%20then%20use%20%60sp.collect%60%20to%20group%20terms%20by%20the%20control%0A%20%20%20%20%20%20%20%20variable%20%24%5Cphi%24%2C%20revealing%20the%20Hamiltonian's%20structure%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20H%20%3D%20%7Blatex(H_by_phi)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20HJI%20equation%20requires%20%24%5Cmin_%5Cphi%20%5Cmax_%5Cpsi%20H%20%3D%200%24%20along%20optimal%0A%20%20%20%20%20%20%20%20trajectories.%20Because%20%24H%24%20is%20**separable**%20in%20the%20two%20controls%2C%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20saddle-point%20condition%20is%20satisfied%20and%20min%2Fmax%20commute.%20Let's%20find%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20optimal%20controls.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(H_expanded%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20optimal_phi(H_expanded%2C%20latex%2C%20mo%2C%20phi_ctrl%2C%20sp)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Extract%20the%20coefficient%20of%20phi%20(the%20%22switching%20function%22)%0A%20%20%20%20sigma%20%3D%20sp.collect(H_expanded%2C%20phi_ctrl).coeff(phi_ctrl)%0A%20%20%20%20sigma_simplified%20%3D%20sp.simplify(sigma)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Pursuer's%20Optimal%20Control%20%24%5Cphi%5E*%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20Hamiltonian%20is%20**linear**%20in%20%24%5Cphi%24.%20We%20extract%20the%20coefficient%0A%20%20%20%20%20%20%20%20using%20%60.coeff(phi)%60%20%E2%80%94%20this%20is%20the%20**switching%20function**%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Csigma(%5Cmathbf%7B%7Bx%7D%7D%2C%20%5Cmathbf%7B%7Bp%7D%7D)%20%3D%20%7Blatex(sigma_simplified)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Since%20P%20**minimizes**%20%24H%24%20over%20%24%5Cphi%20%5Cin%20%5B-1%2C%201%5D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cphi%5E*(%5Cmathbf%7B%7Bx%7D%7D%2C%20%5Cmathbf%7B%7Bp%7D%7D)%20%3D%20-%5Ctext%7B%7Bsign%7D%7D(%5Csigma)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%20-%5Ctext%7B%7Bsign%7D%7D(%7Blatex(sigma_simplified)%7D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20is%20a%20**bang-bang**%20control%3A%20the%20pursuer%20always%20turns%20at%20maximum%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rate%2C%20either%20hard%20left%20or%20hard%20right%2C%20switching%20when%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Csigma%20%3D%200%24%20(the%20switching%20surface).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20When%20%24%5Csigma%20%3D%200%24%20%E2%80%94%20i.e.%2C%20when%20the%20costate%20vector%20%24%5Cmathbf%7B%7Bp%7D%7D%24%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20parallel%20to%20the%20position%20vector%20%24%5Cmathbf%7B%7Bx%7D%7D%24%20%E2%80%94%20the%20turn%20direction%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20singular.%20These%20singular%20arcs%20give%20rise%20to%20the%20rich%20taxonomy%20of%20singular%0A%20%20%20%20%20%20%20%20surfaces%20studied%20by%20Merz.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(sigma_simplified%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20optimal_psi(%0A%20%20%20%20H_expanded%2C%0A%20%20%20%20atan2%2C%0A%20%20%20%20diff%2C%0A%20%20%20%20latex%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20p1%2C%0A%20%20%20%20p2%2C%0A%20%20%20%20psi_ctrl%2C%0A%20%20%20%20simplify%2C%0A%20%20%20%20sqrt%2C%0A%20%20%20%20trigsimp%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Extract%20the%20psi-dependent%20terms%3A%20w*(p1*sin(psi)%20%2B%20p2*cos(psi))%0A%20%20%20%20%23%20E%20maximizes%20H%20over%20psi.%0A%20%20%20%20%23%20d%2Fdpsi%20%5Bp1*sin(psi)%20%2B%20p2*cos(psi)%5D%20%3D%20p1*cos(psi)%20-%20p2*sin(psi)%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%3D%3E%20tan(psi)%20%3D%20p1%2Fp2%20%20%3D%3E%20%20psi*%20%3D%20atan2(p1%2C%20p2)%0A%0A%20%20%20%20dH_dpsi%20%3D%20diff(H_expanded%2C%20psi_ctrl)%0A%20%20%20%20dH_dpsi_simplified%20%3D%20trigsimp(simplify(dH_dpsi))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Optimal%20evader%20heading%0A%20%20%20%20psi_star%20%3D%20atan2(p1%2C%20p2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Value%20of%20the%20psi-dependent%20term%20at%20the%20optimum%0A%20%20%20%20%23%20p1*sin(atan2(p1%2Cp2))%20%2B%20p2*cos(atan2(p1%2Cp2))%20%3D%20sqrt(p1%5E2%20%2B%20p2%5E2)%0A%20%20%20%20psi_contribution_at_opt%20%3D%20sqrt(p1**2%20%2B%20p2**2)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Evader's%20Optimal%20Control%20%24%5Cpsi%5E*%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20%24%5Cpsi%24-dependent%20terms%20in%20%24H%24%20are%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20w%20%5Cleft(%20p_1%20%5Csin%5Cpsi%20%2B%20p_2%20%5Ccos%5Cpsi%20%5Cright)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20E%20**maximizes**%20this.%20We%20differentiate%20with%20%60sp.diff(H%2C%20psi)%60%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20simplify%20with%20%60trigsimp%60%20to%20find%20the%20stationary%20point%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%20H%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%20%5Cpsi%7D%7D%20%3D%20%7Blatex(dH_dpsi_simplified)%7D%20%3D%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cquad%20%5CLongrightarrow%20%5Cquad%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cpsi%5E*%20%3D%20%5Ctext%7B%7Batan2%7D%7D(p_1%2C%5C%2C%20p_2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20evader%20steers%20to%20**align%20the%20component%20of%20its%20velocity%20along%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20costate%20gradient**%20%E2%80%94%20intuitively%2C%20E%20runs%20in%20the%20direction%20that%0A%20%20%20%20%20%20%20%20increases%20the%20value%20function%20most%20steeply.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20At%20the%20optimum%2C%20the%20contribution%20reduces%20to%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20w%20%5Cleft(%20p_1%20%5Csin%5Cpsi%5E*%20%2B%20p_2%20%5Ccos%5Cpsi%5E*%20%5Cright)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%20w%20%5Csqrt%7B%7Bp_1%5E2%20%2B%20p_2%5E2%7D%7D%20%3D%20w%20%5C%7C%5Cmathbf%7B%7Bp%7D%7D%5C%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(psi_star%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20saddle_point_verification(%0A%20%20%20%20H_expanded%2C%0A%20%20%20%20latex%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20p1%2C%0A%20%20%20%20p2%2C%0A%20%20%20%20phi_ctrl%2C%0A%20%20%20%20psi_ctrl%2C%0A%20%20%20%20psi_star%2C%0A%20%20%20%20sigma_simplified%2C%0A%20%20%20%20sign%2C%0A%20%20%20%20sp%2C%0A%20%20%20%20sqrt%2C%0A%20%20%20%20w%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Substitute%20optimal%20controls%20back%20into%20H%0A%20%20%20%20%23%20phi*%20%3D%20-sign(sigma)%2C%20but%20for%20symbolic%20work%20use%20phi%20%3D%20-sign(sigma)%0A%20%20%20%20%23%20and%20psi*%20%3D%20atan2(p1%2C%20p2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Reduced%20Hamiltonian%20at%20the%20saddle%20point%0A%20%20%20%20H_star%20%3D%20H_expanded.subs(psi_ctrl%2C%20psi_star)%0A%20%20%20%20H_star%20%3D%20H_star.subs(phi_ctrl%2C%20-sign(sigma_simplified))%0A%0A%20%20%20%20%23%20For%20the%20continuous%20(non-singular)%20case%2C%20simplify%3A%0A%20%20%20%20%23%20At%20psi*%2C%20the%20trig%20terms%20become%3A%20sin(atan2(p1%2Cp2))%20%3D%20p1%2F%7C%7Cp%7C%7C%2C%0A%20%20%20%20%23%20cos(atan2(p1%2Cp2))%20%3D%20p2%2F%7C%7Cp%7C%7C%0A%20%20%20%20norm_p%20%3D%20sqrt(p1**2%20%2B%20p2**2)%0A%20%20%20%20H_saddle_explicit%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-sp.Abs(sigma_simplified)%20%2B%20w%20*%20norm_p%20-%20p2%20%2B%201%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Saddle-Point%20Verification%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Substituting%20%24%5Cphi%5E*%20%3D%20-%5Ctext%7B%7Bsign%7D%7D(%5Csigma)%24%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cpsi%5E*%20%3D%20%5Ctext%7B%7Batan2%7D%7D(p_1%2C%20p_2)%24%20back%20into%20%24H%24%2C%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**reduced%20Hamiltonian**%20at%20the%20saddle%20point%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20H%5E*(%5Cmathbf%7B%7Bx%7D%7D%2C%20%5Cmathbf%7B%7Bp%7D%7D)%20%3D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%7C%5Csigma%7C%20%2B%20w%5C%7C%5Cmathbf%7B%7Bp%7D%7D%5C%7C%20-%20p_2%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%20-%7C%7Blatex(sigma_simplified)%7D%7C%20%2B%20w%5Csqrt%7B%7Bp_1%5E2%20%2B%20p_2%5E2%7D%7D%20-%20p_2%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20HJI%20equation%20%24H%5E*%20%3D%200%24%20along%20optimal%20trajectories%20becomes%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%7C%7Blatex(sigma_simplified)%7D%7C%20%2B%20w%5Csqrt%7B%7Bp_1%5E2%20%2B%20p_2%5E2%7D%7D%20-%20p_2%20%2B%201%20%3D%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Saddle-point%20property%3A**%20The%20separability%20of%20%24H%24%20in%20%24%5Cphi%24%20and%20%24%5Cpsi%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(no%20cross-terms)%20guarantees%20that%20%24%5Cmin_%5Cphi%20%5Cmax_%5Cpsi%20H%20%3D%20%5Cmax_%5Cpsi%20%5Cmin_%5Cphi%20H%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20is%20the%20**Isaacs%20condition**%20%E2%80%94%20it%20ensures%20the%20game%20has%20a%20well-defined%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%20and%20the%20two%20optimizations%20can%20be%20performed%20independently.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20costate_equations(H_expanded%2C%20diff%2C%20latex%2C%20mo%2C%20simplify%2C%20x1%2C%20x2)%3A%0A%20%20%20%20%23%20The%20costate%20(adjoint)%20ODEs%3A%20dp%2Fdt%20%3D%20-dH%2Fdx%0A%20%20%20%20p1_dot%20%3D%20-diff(H_expanded%2C%20x1)%0A%20%20%20%20p2_dot%20%3D%20-diff(H_expanded%2C%20x2)%0A%0A%20%20%20%20p1_dot_simplified%20%3D%20simplify(p1_dot)%0A%20%20%20%20p2_dot_simplified%20%3D%20simplify(p2_dot)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20%C2%A76%20%E2%80%94%20Costate%20(Adjoint)%20Equations%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20costate%20variables%20%24%5Cmathbf%7B%7Bp%7D%7D%20%3D%20(p_1%2C%20p_2)%24%20evolve%20according%20to%0A%20%20%20%20%20%20%20%20the%20adjoint%20equations%20%24%5Cdot%7B%7Bp%7D%7D_i%20%3D%20-%5Cpartial%20H%20%2F%20%5Cpartial%20x_i%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20We%20compute%20these%20directly%20with%20%60sp.diff%60%20and%20%60simplify%60%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cdot%7B%7Bp%7D%7D_1%20%3D%20-%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%20H%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%20x_1%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%20%7Blatex(p1_dot_simplified)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cdot%7B%7Bp%7D%7D_2%20%3D%20-%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%20H%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%20x_2%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%20%7Blatex(p2_dot_simplified)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Together%20with%20the%20state%20equations%2C%20we%20now%20have%20a%20**4D%20ODE%20system**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24(x_1%2C%20x_2%2C%20p_1%2C%20p_2)%24%20that%20describes%20the%20characteristics%20of%20the%20HJI%0A%20%20%20%20%20%20%20%20PDE.%20Optimal%20trajectories%20are%20projections%20of%20these%20characteristics%20onto%0A%20%20%20%20%20%20%20%20the%20%24(x_1%2C%20x_2)%24%20plane.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20p1_dot_simplified%2C%20p2_dot_simplified%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20costate_conservation(%0A%20%20%20%20latex%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20p1%2C%0A%20%20%20%20p1_dot_simplified%2C%0A%20%20%20%20p2%2C%0A%20%20%20%20p2_dot_simplified%2C%0A%20%20%20%20simplify%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Prove%20that%20%7C%7Cp%7C%7C%5E2%20is%20conserved%0A%20%20%20%20d_norm_p_sq%20%3D%20simplify(%0A%20%20%20%20%20%20%20%202%20*%20(p1%20*%20p1_dot_simplified%20%2B%20p2%20*%20p2_dot_simplified)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Conservation%20of%20%24%5C%7C%5Cmathbf%7B%7Bp%7D%7D%5C%7C%5E2%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%20critical%20structural%20property.%20We%20ask%20SymPy%20to%20compute%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%242(p_1%20%5Cdot%7B%7Bp%7D%7D_1%20%2B%20p_2%20%5Cdot%7B%7Bp%7D%7D_2)%24%20and%20%60simplify%60%20the%20result%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%7Bd%7D%7D%7B%7Bdt%7D%7D(p_1%5E2%20%2B%20p_2%5E2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%202(p_1%20%5Cdot%7B%7Bp%7D%7D_1%20%2B%20p_2%20%5Cdot%7B%7Bp%7D%7D_2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%20%7Blatex(d_norm_p_sq)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20SymPy%20confirms%20the%20result%20vanishes%20identically%20%E2%80%94%20the%20costate%20norm%0A%20%20%20%20%20%20%20%20is%20**conserved**%20along%20characteristics.%20In%20matrix%20form%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cdot%7B%7B%5Cmathbf%7B%7Bp%7D%7D%7D%7D%20%3D%20%5Cphi%5E*%20J%20%5Cmathbf%7B%7Bp%7D%7D%24%20where%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24J%20%3D%20%5Cbigl%5B%5Cbegin%7B%7Bsmallmatrix%7D%7D0%20%26%20-1%20%5C%5C%201%20%26%200%5Cend%7B%7Bsmallmatrix%7D%7D%5Cbigr%5D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20is%20a%2090%C2%B0%20rotation%20%E2%80%94%20the%20costate%20vector%20**rotates**%20at%20rate%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%7C%5Cphi%5E*%7C%24%20in%20the%20body%20frame%2C%20but%20does%20not%20grow%20or%20shrink.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Since%20the%20body%20frame%20itself%20rotates%20at%20rate%20%24%5Cphi%5E*%24%20(the%20pursuer's%0A%20%20%20%20%20%20%20%20turn%20rate)%2C%20the%20costate%20is%20**stationary%20in%20the%20lab%20frame**.%20The%0A%20%20%20%20%20%20%20%20evader's%20optimal%20heading%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cpsi%5E*_%7B%7B%5Ctext%7B%7Blab%7D%7D%7D%7D%20%3D%20%5Cpsi%5E*%20%2B%20%5Ctheta%24%20therefore%20satisfies%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24d%5Cpsi%5E*_%7B%7B%5Ctext%7B%7Blab%7D%7D%7D%7D%2Fdt%20%3D%200%24%20%E2%80%94%20the%20evader%20runs%20in%20a%20**fixed%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lab-frame%20direction**%20along%20each%20characteristic.%20This%20is%20why%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20forward-time%20evader%20path%20is%20a%20straight%20line%20(%C2%A79).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20conservation%20law%20also%20serves%20as%20a%20**numerical%20verification%0A%20%20%20%20%20%20%20%20check**%3A%20any%20drift%20in%20%24%5C%7C%5Cmathbf%7B%7Bp%7D%7D%5C%7C%24%20during%20integration%0A%20%20%20%20%20%20%20%20indicates%20numerical%20error.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20full_ode_system(%0A%20%20%20%20f1%2C%0A%20%20%20%20f2%2C%0A%20%20%20%20latex%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20p1_dot_simplified%2C%0A%20%20%20%20p2_dot_simplified%2C%0A%20%20%20%20psi_ctrl%2C%0A%20%20%20%20psi_star%2C%0A%20%20%20%20sigma_simplified%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Assemble%20the%20full%204D%20ODE%20system%20with%20optimal%20controls%20substituted%0A%0A%20%20%20%20%23%20State%20dynamics%20with%20optimal%20psi%20substituted%0A%20%20%20%20%23%20We%20leave%20phi%20as%20the%20switching%20control%20for%20now%0A%20%20%20%20f1_opt_psi%20%3D%20f1.subs(psi_ctrl%2C%20psi_star)%0A%20%20%20%20f2_opt_psi%20%3D%20f2.subs(psi_ctrl%2C%20psi_star)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Full%20system%3A%20(x1_dot%2C%20x2_dot%2C%20p1_dot%2C%20p2_dot)%0A%20%20%20%20%23%20with%20phi%20%3D%20-sign(sigma)%20and%20psi%20%3D%20atan2(p1%2C%20p2)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20The%20Complete%204D%20Characteristic%20System%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Assembling%20state%20%2B%20costate%20with%20optimal%20controls%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cphi%5E*%20%3D%20-%5Ctext%7B%7Bsign%7D%7D(%7Blatex(sigma_simplified)%7D)%24%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cpsi%5E*%20%3D%20%5Ctext%7B%7Batan2%7D%7D(p_1%2C%20p_2)%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cdot%7B%7Bx%7D%7D_1%20%3D%20-%5Cphi%5E*%20x_2%20%2B%20w%20%5Cfrac%7B%7Bp_1%7D%7D%7B%7B%5C%7C%5Cmathbf%7B%7Bp%7D%7D%5C%7C%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cdot%7B%7Bx%7D%7D_2%20%3D%20%5Cphi%5E*%20x_1%20%2B%20w%20%5Cfrac%7B%7Bp_2%7D%7D%7B%7B%5C%7C%5Cmathbf%7B%7Bp%7D%7D%5C%7C%7D%7D%20-%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cdot%7B%7Bp%7D%7D_1%20%3D%20%7Blatex(p1_dot_simplified)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cdot%7B%7Bp%7D%7D_2%20%3D%20%7Blatex(p2_dot_simplified)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20where%20%24%5Cphi%5E*%20%3D%20-%5Ctext%7B%7Bsign%7D%7D(%7Blatex(sigma_simplified)%7D)%24%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5C%7C%5Cmathbf%7B%7Bp%7D%7D%5C%7C%20%3D%20%5Csqrt%7B%7Bp_1%5E2%20%2B%20p_2%5E2%7D%7D%24%20is%20constant%20along%20solutions.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Transversality%20conditions%3A**%20At%20the%20terminal%20surface%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24x_1%5E2%20%2B%20x_2%5E2%20%3D%20%5Ctilde%7B%7B%5Cell%7D%7D%5E2%24%2C%20the%20costate%20must%20be%20normal%20to%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20surface%3A%20%24%5Cmathbf%7B%7Bp%7D%7D(T)%20%3D%20%5Clambda%20%5C%2C%20%5Cmathbf%7B%7Bx%7D%7D(T)%24%20for%20some%0A%20%20%20%20%20%20%20%20scalar%20%24%5Clambda%20%3E%200%24%20(pointing%20outward%2C%20consistent%20with%20%24V%24%20increasing%0A%20%20%20%20%20%20%20%20away%20from%20the%20target).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*This%20completes%20the%20symbolic%20derivation.%20Before%20moving%20to%20numerical%0A%20%20%20%20%20%20%20%20simulation%2C%20we%20pause%20to%20discuss%20the%20singular%20surfaces%20that%20arise%20when%0A%20%20%20%20%20%20%20%20the%20switching%20function%20vanishes.*%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20singular_surfaces(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20%C2%A77%20%E2%80%94%20Singular%20Surfaces%3A%20A%20Taxonomy%0A%0A%20%20%20%20The%20pursuer's%20optimal%20control%20%24%5Cphi%5E*%20%3D%20-%5Ctext%7Bsign%7D(%5Csigma)%24%20is%0A%20%20%20%20well-defined%20whenever%20the%20switching%20function%0A%20%20%20%20%24%5Csigma%20%3D%20p_2%20x_1%20-%20p_1%20x_2%20%5Cneq%200%24.%20But%20what%20happens%20on%20the%0A%20%20%20%20**switching%20surface**%20%24%5Csigma%20%3D%200%24%20%E2%80%94%20where%20the%20costate%20%24%5Cmathbf%7Bp%7D%24%0A%20%20%20%20is%20parallel%20to%20the%20position%20%24%5Cmathbf%7Bx%7D%24%3F%0A%0A%20%20%20%20On%20%24%5Csigma%20%3D%200%24%2C%20the%20pursuer%20gains%20no%20advantage%20from%20turning%20left%20vs.%0A%20%20%20%20right%2C%20and%20the%20bang-bang%20control%20law%20breaks%20down.%20The%20resolution%20depends%0A%20%20%20%20on%20the%20*geometry*%20of%20how%20trajectories%20approach%20and%20leave%20this%20surface.%0A%20%20%20%20Merz%20(1971)%20classified%20four%20types%20of%20singular%20surfaces%20that%20arise%20in%0A%20%20%20%20differential%20games%3A%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%201.%20Dispersal%20Surface%0A%0A%20%20%20%20Optimal%20trajectories%20**diverge**%20from%20the%20surface%20on%20both%20sides.%0A%20%20%20%20Approaching%20the%20surface%2C%20the%20pursuer%20faces%20a%20genuine%20choice%20%E2%80%94%20turn%0A%20%20%20%20left%20or%20right%20%E2%80%94%20with%20both%20options%20equally%20costly.%20The%20value%20function%0A%20%20%20%20%24V(%5Cmathbf%7Bx%7D)%24%20is%20continuous%20across%20the%20dispersal%20line%20but%20its%0A%20%20%20%20gradient%20has%20a%20jump%20discontinuity.%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20HC%20game%2C%20the%20dispersal%20line%20appears%20along%20portions%20of%20the%0A%20%20%20%20%24x_2%24-axis%20where%20the%20evader%20is%20directly%20ahead%20of%20or%20behind%20the%20pursuer.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%202.%20Universal%20Surface%0A%0A%20%20%20%20Trajectories%20**cross%20through**%20the%20surface.%20The%20optimal%20control%20on%0A%20%20%20%20the%20surface%20itself%20is%20determined%20by%20a%20higher-order%20condition%3A%20one%0A%20%20%20%20examines%20%24%5Cdot%7B%5Csigma%7D%24%20(and%20potentially%20higher%20derivatives)%20to%20find%0A%20%20%20%20an%20intermediate%20(non-bang-bang)%20turn%20rate%20that%20keeps%20the%20trajectory%20on%0A%20%20%20%20the%20singular%20arc.%20This%20is%20the%20analog%20of%20singular%20arcs%20in%20classical%0A%20%20%20%20optimal%20control.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%203.%20Equivocal%20Surface%0A%0A%20%20%20%20The%20surface%20is%20**approached%20from%20one%20side%20only**.%20Trajectories%20arriving%0A%20%20%20%20at%20the%20surface%20can%20either%20cross%20through%20or%20turn%20back%20%E2%80%94%20the%20resolution%0A%20%20%20%20requires%20careful%20analysis%20of%20the%20limit%20of%20optimal%20play%20as%20one%0A%20%20%20%20approaches%20the%20surface.%20Equivocal%20surfaces%20are%20rare%20in%20optimal%20control%0A%20%20%20%20but%20appear%20naturally%20in%20differential%20games%20where%20both%20players%20influence%0A%20%20%20%20the%20dynamics.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%204.%20Focal%20Surface%0A%0A%20%20%20%20Trajectories%20**converge%20onto**%20the%20surface%20from%20one%20side%20and%20then%0A%20%20%20%20**slide%20along**%20it.%20This%20creates%20chattering%20behavior%20%E2%80%94%20the%20optimal%0A%20%20%20%20control%20switches%20infinitely%20rapidly%20between%20its%20extreme%20values%2C%20and%20the%0A%20%20%20%20trajectory%20effectively%20follows%20the%20singular%20surface.%20In%20practice%2C%0A%20%20%20%20numerical%20integration%20must%20handle%20this%20carefully%20to%20avoid%20artifacts.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Why%20the%20HC%20Game%20is%20Special%0A%0A%20%20%20%20For%20certain%20parameter%20ranges%20%24(w%2C%20%5Ctilde%7B%5Cell%7D)%24%2C%20all%20four%20types%20of%0A%20%20%20%20singular%20surface%20**coexist**%20in%20the%20solution%20%E2%80%94%20making%20the%20Homicidal%0A%20%20%20%20Chauffeur%20one%20of%20the%20richest%20and%20most%20studied%20examples%20in%20differential%0A%20%20%20%20game%20theory.%20Merz's%201971%20Stanford%20thesis%20identified%20over%2020%20qualitatively%0A%20%20%20%20distinct%20subregions%20in%20the%20%24(w%2C%20%5Ctilde%7B%5Cell%7D)%24%20parameter%20space%2C%20each%0A%20%20%20%20with%20a%20different%20configuration%20of%20singular%20surfaces.%0A%0A%20%20%20%20This%20richness%20is%20precisely%20why%20the%20HC%20problem%20has%20remained%20a%20benchmark%0A%20%20%20%20for%20over%2070%20years%3A%20it%20is%20complex%20enough%20to%20exhibit%20the%20full%20taxonomy%0A%20%20%20%20of%20singular%20phenomena%2C%20yet%20simple%20enough%20(2D%20state%20space%2C%20scalar%0A%20%20%20%20controls)%20to%20admit%20detailed%20analytical%20treatment.%0A%0A%20%20%20%20**Computational%20note%3A**%20Our%20numerical%20integrator%20uses%0A%20%20%20%20%24%5Cphi%5E*%20%3D%20-%5Ctext%7Bsign%7D(%5Csigma)%24%2C%20which%20produces%20%24%5Cphi%5E*%20%3D%200%24%20on%20the%0A%20%20%20%20switching%20surface.%20This%20is%20a%20pragmatic%20simplification%20%E2%80%94%20it%20yields%0A%20%20%20%20correct%20trajectories%20away%20from%20singular%20surfaces%20but%20may%20lose%20accuracy%0A%20%20%20%20near%20them.%20A%20complete%20treatment%20would%20require%20explicit%20detection%20and%0A%20%20%20%20handling%20of%20each%20singular%20surface%20type%2C%20which%20is%20a%20research-level%0A%20%20%20%20computation%20beyond%20our%20scope%20here.%0A%0A%20%20%20%20**References%3A**%20Merz%20(1971)%20Chapters%203%E2%80%934%3B%20Patsko%20%26%20Turova%20(2011)%0A%20%20%20%20Section%204%3B%20Bernhard%20(1977)%20for%20the%20general%20theory%20of%20singular%20surfaces%0A%20%20%20%20in%20differential%20games.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20vector_field_plot(ell_tilde_val%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20w_val)%3A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(1%2C%201%2C%20figsize%3D(8%2C%208))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Grid%20of%20points%20in%20the%20(x1%2C%20x2)%20plane%0A%20%20%20%20_grid_lim%20%3D%204.0%0A%20%20%20%20_n_grid%20%3D%2025%0A%20%20%20%20_x1_grid%2C%20_x2_grid%20%3D%20np.meshgrid(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.linspace(-_grid_lim%2C%20_grid_lim%2C%20_n_grid)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.linspace(-_grid_lim%2C%20_grid_lim%2C%20_n_grid)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Fix%20costate%20p%20%3D%20(0%2C%201)%20%E2%86%92%20sigma%20%3D%20x1%2C%20phi*%20%3D%20-sign(x1)%2C%20psi*%20%3D%200%0A%20%20%20%20_sigma%20%3D%20_x1_grid%0A%20%20%20%20_phi_star%20%3D%20-np.sign(_sigma)%0A%20%20%20%20_psi_star%20%3D%200.0%0A%0A%20%20%20%20_f1%20%3D%20-_phi_star%20*%20_x2_grid%20%2B%20w_val%20*%20np.sin(_psi_star)%0A%20%20%20%20_f2%20%3D%20_phi_star%20*%20_x1_grid%20%2B%20w_val%20*%20np.cos(_psi_star)%20-%201.0%0A%0A%20%20%20%20_speed%20%3D%20np.sqrt(_f1**2%20%2B%20_f2**2)%0A%20%20%20%20_speed_safe%20%3D%20np.where(_speed%20%3E%200%2C%20_speed%2C%201.0)%0A%0A%20%20%20%20_ax.quiver(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x1_grid%2C%20_x2_grid%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_f1%20%2F%20_speed_safe%2C%20_f2%20%2F%20_speed_safe%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_speed%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cmap%3D'coolwarm'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pivot%3D'mid'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20scale%3D30%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Switching%20surface%20at%20x1%20%3D%200%0A%20%20%20%20_ax.axvline(x%3D0%2C%20color%3D'green'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20linewidth%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.6%2C%20label%3Dr'Switching%20surface%20%24%5Csigma%20%3D%200%24')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Annotate%20the%20two%20control%20regions%0A%20%20%20%20_ax.text(2.0%2C%20-3.5%2C%20r'%24%5Cphi%5E*%20%3D%20-1%24'%20%2B%20'%5Cn(hard%20right)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D10%2C%20ha%3D'center'%2C%20color%3D'%23444444'%2C%20alpha%3D0.8)%0A%20%20%20%20_ax.text(-2.0%2C%20-3.5%2C%20r'%24%5Cphi%5E*%20%3D%20%2B1%24'%20%2B%20'%5Cn(hard%20left)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D10%2C%20ha%3D'center'%2C%20color%3D'%23444444'%2C%20alpha%3D0.8)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Terminal%20circle%0A%20%20%20%20_theta%20%3D%20np.linspace(0%2C%202%20*%20np.pi%2C%20200)%0A%20%20%20%20_ax.plot(ell_tilde_val%20*%20np.cos(_theta)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ell_tilde_val%20*%20np.sin(_theta)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'k--'%2C%20linewidth%3D1%2C%20alpha%3D0.5%2C%20label%3D'Terminal%20circle')%0A%0A%20%20%20%20_ax.plot(0%2C%200%2C%20'k%2B'%2C%20markersize%3D12%2C%20markeredgewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(r'%24x_1%24%20(perpendicular)')%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(r'%24x_2%24%20(along%20heading)')%0A%20%20%20%20_ax.set_aspect('equal')%0A%20%20%20%20_ax.set_title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf'Optimal%20Vector%20Field%20(%24%5Cmathbf%7B%7Bp%7D%7D%20%3D%20(0%2C%201)%24%2C%20'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf'%24w%20%3D%20%7Bw_val%3A.3f%7D%24%2C%20%24%5Ctilde%7B%7B%5Cell%7D%7D%20%3D%20%7Bell_tilde_val%3A.3f%7D%24)'%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.legend(loc%3D'lower%20right'%2C%20fontsize%3D9)%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20This%20**quiver%20plot**%20shows%20the%20direction%20and%20magnitude%20of%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20optimal%20state%20velocity%20%24(%5Cdot%7Bx%7D_1%2C%20%5Cdot%7Bx%7D_2)%24%20at%20each%20point%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20a%20fixed%20costate%20direction%20%24%5Cmathbf%7Bp%7D%20%3D%20(0%2C%201)%24.%20This%20gives%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20switching%20function%20%24%5Csigma%20%3D%20x_1%24%2C%20so%20the%20pursuer%20turns%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**hard%20right**%20(%24%5Cphi%5E*%20%3D%20-1%24)%20when%20%24x_1%20%3E%200%24%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**hard%20left**%20(%24%5Cphi%5E*%20%3D%20%2B1%24)%20when%20%24x_1%20%3C%200%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20green%20dashed%20line%20is%20the%20**switching%20surface**%20%24%5Csigma%20%3D%200%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(%24x_1%20%3D%200%24).%20Notice%20how%20the%20flow%20direction%20reverses%20abruptly%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20across%20it%20%E2%80%94%20this%20is%20the%20bang-bang%20control%20in%20action.%20The%20kinks%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20visible%20in%20the%20trajectory%20plot%20(%C2%A78)%20occur%20exactly%20where%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20trajectory%20crosses%20this%20surface.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Arrows%20are%20colored%20by%20speed%3A%20**red**%20%3D%20fast%20motion%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**blue**%20%3D%20slow.%20The%20flow%20generally%20pushes%20upward%20(the%20pursuer%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20advances%20along%20%24x_2%24)%20with%20a%20rotational%20component%20from%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20turning%20constraint.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20lambdify_ode(%0A%20%20%20%20f1%2C%0A%20%20%20%20f2%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20p1%2C%0A%20%20%20%20p1_dot_simplified%2C%0A%20%20%20%20p2%2C%0A%20%20%20%20p2_dot_simplified%2C%0A%20%20%20%20phi_ctrl%2C%0A%20%20%20%20psi_ctrl%2C%0A%20%20%20%20psi_star%2C%0A%20%20%20%20sigma_simplified%2C%0A%20%20%20%20sign%2C%0A%20%20%20%20sp%2C%0A%20%20%20%20w%2C%0A%20%20%20%20x1%2C%0A%20%20%20%20x2%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Substitute%20optimal%20controls%20into%20the%20full%204D%20system%0A%20%20%20%20rhs_x1%20%3D%20f1.subs(%5B(phi_ctrl%2C%20-sign(sigma_simplified))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(psi_ctrl%2C%20psi_star)%5D)%0A%20%20%20%20rhs_x2%20%3D%20f2.subs(%5B(phi_ctrl%2C%20-sign(sigma_simplified))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(psi_ctrl%2C%20psi_star)%5D)%0A%20%20%20%20rhs_p1%20%3D%20p1_dot_simplified.subs(phi_ctrl%2C%20-sign(sigma_simplified))%0A%20%20%20%20rhs_p2%20%3D%20p2_dot_simplified.subs(phi_ctrl%2C%20-sign(sigma_simplified))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Lambdify%3A%20SymPy%20expressions%20%E2%86%92%20numpy-callable%20function%0A%20%20%20%20_rhs_lambdified%20%3D%20sp.lambdify(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bx1%2C%20x2%2C%20p1%2C%20p2%2C%20w%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Brhs_x1%2C%20rhs_x2%2C%20rhs_p1%2C%20rhs_p2%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20modules%3D%5B'numpy'%5D%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20def%20rhs_forward(t%2C%20state%2C%20w_val)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22RHS%20of%20the%204D%20characteristic%20ODE%20(forward%20time).%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s1%2C%20s2%2C%20s3%2C%20s4%20%3D%20state%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20_rhs_lambdified(s1%2C%20s2%2C%20s3%2C%20s4%2C%20w_val)%0A%0A%20%20%20%20def%20rhs_backward(t%2C%20state%2C%20w_val)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22RHS%20for%20backward%20integration%20(negate%20forward%20dynamics).%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fwd%20%3D%20rhs_forward(t%2C%20state%2C%20w_val)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%5B-v%20for%20v%20in%20fwd%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20Also%20build%20a%20hand-coded%20numpy%20version%20for%20cross-validation%20in%20tests%0A%20%20%20%20def%20rhs_numpy(state%2C%20w_val)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Hand-coded%20RHS%20%E2%80%94%20independent%20of%20sp.lambdify.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s1%2C%20s2%2C%20s3%2C%20s4%20%3D%20state%0A%20%20%20%20%20%20%20%20norm_p%20%3D%20np.sqrt(s3**2%20%2B%20s4**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20norm_p%20%3C%201e-15%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%5B0.0%2C%200.0%2C%200.0%2C%200.0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sigma%20%3D%20s4%20*%20s1%20-%20s3%20*%20s2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20phi_star%20%3D%20-np.sign(sigma)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x1d%20%3D%20-phi_star%20*%20s2%20%2B%20w_val%20*%20s3%20%2F%20norm_p%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x2d%20%3D%20phi_star%20*%20s1%20%2B%20w_val%20*%20s4%20%2F%20norm_p%20-%201.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20p1d%20%3D%20-phi_star%20*%20s4%0A%20%20%20%20%20%20%20%20p2d%20%3D%20phi_star%20*%20s3%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%5Bx1d%2C%20x2d%2C%20p1d%2C%20p2d%5D%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20%C2%A78%20%E2%80%94%20Numerical%20Trajectory%20Simulation%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20We%20now%20cross%20the%20**SymPy%20%E2%86%92%20NumPy%20bridge**.%20The%20symbolic%204D%20ODE%0A%20%20%20%20%20%20%20%20system%20from%20%C2%A7%C2%A75%E2%80%936%20is%20compiled%20into%20a%20fast%20NumPy-callable%20function%0A%20%20%20%20%20%20%20%20via%20%60sp.lambdify%60%2C%20then%20integrated%20numerically%20with%20SciPy's%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%60solve_ivp%60%20(adaptive%20Runge%E2%80%93Kutta).%20matplotlib%20renders%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20results.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%60%60%60python%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20scipy.integrate%20import%20solve_ivp%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%60%60%60%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20lambdified%20function%20takes%20state%20%24(x_1%2C%20x_2%2C%20p_1%2C%20p_2)%24%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20parameter%20%24w%24%2C%20substitutes%20the%20optimal%20controls%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cphi%5E*%20%3D%20-%5Ctext%7Bsign%7D(%5Csigma)%24%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cpsi%5E*%20%3D%20%5Ctext%7Batan2%7D(p_1%2C%20p_2)%24%2C%20and%20returns%20the%20derivatives.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20We%20also%20maintain%20a%20hand-coded%20NumPy%20implementation%20as%20an%20independent%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cross-check%20%E2%80%94%20the%20test%20suite%20verifies%20both%20implementations%20agree.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(rhs_backward%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20usable_part(latex%2C%20mo%2C%20np%2C%20sp%2C%20w)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Derive%20the%20usable%20part%20of%20the%20terminal%20circle%20symbolically.%0A%20%20%20%20%23%20At%20the%20terminal%20surface%20x%20%3D%20ell_tilde*(cos(alpha)%2C%20sin(alpha))%2C%0A%20%20%20%20%23%20transversality%20gives%20p(T)%20%3D%20lambda%20*%20x(T).%0A%20%20%20%20%23%20H*%20%3D%20-%7Csigma%7C%20%2B%20w*%7C%7Cp%7C%7C%20-%20p2%20%2B%201%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20At%20terminal%3A%20sigma%20%3D%200%20(p%20parallel%20to%20x)%2C%20so%20%7Csigma%7C%20%3D%200.%0A%20%20%20%20%23%20%7C%7Cp%7C%7C%20%3D%20lambda%20*%20ell_tilde%2C%20p2%20%3D%20lambda%20*%20ell_tilde%20*%20sin(alpha)%0A%20%20%20%20%23%20%3D%3E%20w*lambda*ell_tilde%20-%20lambda*ell_tilde*sin(alpha)%20%2B%201%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%3D%3E%20lambda%20%3D%20-1%20%2F%20(ell_tilde%20*%20(w%20-%20sin(alpha)))%0A%20%20%20%20%23%20lambda%20%3E%200%20requires%20sin(alpha)%20%3E%20w.%0A%0A%20%20%20%20alpha_sym%20%3D%20sp.Symbol('alpha'%2C%20real%3DTrue)%0A%20%20%20%20ell_tilde_sym%20%3D%20sp.Symbol('ell_tilde'%2C%20positive%3DTrue)%0A%20%20%20%20lambda_expr%20%3D%20-1%20%2F%20(ell_tilde_sym%20*%20(w%20-%20sp.sin(alpha_sym)))%0A%0A%20%20%20%20def%20compute_terminal_conditions(alpha_arr%2C%20w_val%2C%20ell_tilde_val)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Compute%20(x1%2C%20x2%2C%20p1%2C%20p2)%20at%20the%20terminal%20surface%20for%20each%20alpha.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%20shape%20(N%2C%204)%20array%20of%20initial%20conditions%20for%20backward%0A%20%20%20%20%20%20%20%20integration%2C%20or%20None%20for%20alpha%20values%20outside%20the%20usable%20part.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x1_T%20%3D%20ell_tilde_val%20*%20np.cos(alpha_arr)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x2_T%20%3D%20ell_tilde_val%20*%20np.sin(alpha_arr)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lam%20%3D%20-1.0%20%2F%20(ell_tilde_val%20*%20(w_val%20-%20np.sin(alpha_arr)))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20p1_T%20%3D%20lam%20*%20x1_T%0A%20%20%20%20%20%20%20%20p2_T%20%3D%20lam%20*%20x2_T%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.column_stack(%5Bx1_T%2C%20x2_T%2C%20p1_T%2C%20p2_T%5D)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Usable%20Part%20of%20the%20Terminal%20Circle%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Not%20every%20point%20on%20the%20capture%20boundary%20is%20a%20valid%20starting%20point%20for%0A%20%20%20%20%20%20%20%20backward%20integration.%20The%20**transversality%20condition**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cmathbf%7B%7Bp%7D%7D(T)%20%3D%20%5Clambda%20%5C%2C%20%5Cmathbf%7B%7Bx%7D%7D(T)%24%20combined%20with%20%24H%5E*%20%3D%200%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yields%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Clambda(%5Calpha)%20%3D%20%7Blatex(lambda_expr)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20For%20%24%5Clambda%20%3E%200%24%20(required%20by%20the%20minimum-time%20interpretation)%2C%20we%0A%20%20%20%20%20%20%20%20need%20%24%5Csin%5Calpha%20%3E%20w%24.%20The%20**usable%20part**%20of%20the%20terminal%20circle%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20therefore%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Calpha%20%5Cin%20%5Cleft(%5Carcsin%20w%2C%20%5C%3B%20%5Cpi%20-%20%5Carcsin%20w%5Cright)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Points%20outside%20this%20arc%20%E2%80%94%20where%20the%20evader%20can%20exit%20the%20capture%20region%0A%20%20%20%20%20%20%20%20faster%20than%20the%20pursuer%20can%20close%20%E2%80%94%20are%20not%20reachable%20under%20optimal%0A%20%20%20%20%20%20%20%20play.%20This%20is%20a%20fundamental%20asymmetry%3A%20the%20pursuer%20can%20only%20%22approach%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20the%20target%20from%20the%20upper%20portion%20of%20the%20circle%20(the%20side%20the%20pursuer%0A%20%20%20%20%20%20%20%20is%20driving%20toward).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(compute_terminal_conditions%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20usable_part_plot(ell_tilde_val%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20w_val)%3A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(1%2C%201%2C%20figsize%3D(7%2C%207))%0A%0A%20%20%20%20_alpha_min%20%3D%20np.arcsin(min(w_val%2C%200.999))%0A%20%20%20%20_alpha_max%20%3D%20np.pi%20-%20_alpha_min%0A%0A%20%20%20%20%23%20Full%20terminal%20circle%20(gray)%0A%20%20%20%20_theta%20%3D%20np.linspace(0%2C%202%20*%20np.pi%2C%20200)%0A%20%20%20%20_ax.plot(ell_tilde_val%20*%20np.cos(_theta)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ell_tilde_val%20*%20np.sin(_theta)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'-'%2C%20color%3D'gray'%2C%20linewidth%3D1%2C%20alpha%3D0.4)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Non-usable%20arcs%20(dashed%20gray)%0A%20%20%20%20for%20_lo%2C%20_hi%20in%20%5B(0%2C%20_alpha_min)%2C%20(_alpha_max%2C%20np.pi)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(np.pi%2C%202%20*%20np.pi%20-%20_alpha_max)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(2%20*%20np.pi%20-%20_alpha_min%2C%202%20*%20np.pi)%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_arc%20%3D%20np.linspace(_lo%2C%20_hi%2C%2050)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(ell_tilde_val%20*%20np.cos(_arc)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ell_tilde_val%20*%20np.sin(_arc)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'--'%2C%20color%3D'gray'%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.5)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Usable%20arc%20(bold%20red)%0A%20%20%20%20_usable%20%3D%20np.linspace(_alpha_min%2C%20_alpha_max%2C%20100)%0A%20%20%20%20_ax.plot(ell_tilde_val%20*%20np.cos(_usable)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ell_tilde_val%20*%20np.sin(_usable)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'r-'%2C%20linewidth%3D3%2C%20alpha%3D0.9%2C%20label%3D'Usable%20part')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Fill%20usable%20arc%20region%20lightly%0A%20%20%20%20_wedge_x%20%3D%20%5B0%5D%20%2B%20list(ell_tilde_val%20*%20np.cos(_usable))%20%2B%20%5B0%5D%0A%20%20%20%20_wedge_y%20%3D%20%5B0%5D%20%2B%20list(ell_tilde_val%20*%20np.sin(_usable))%20%2B%20%5B0%5D%0A%20%20%20%20_ax.fill(_wedge_x%2C%20_wedge_y%2C%20color%3D'red'%2C%20alpha%3D0.06)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Angle%20annotations%0A%20%20%20%20_ann_r%20%3D%20ell_tilde_val%20*%201.35%0A%20%20%20%20_ax.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf'%24%5Calpha_%7B%7B%5Cmin%7D%7D%20%3D%20%5Carcsin%20w%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(ell_tilde_val%20*%20np.cos(_alpha_min)%2C%20ell_tilde_val%20*%20np.sin(_alpha_min))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(_ann_r%20*%20np.cos(_alpha_min%20-%200.15)%2C%20_ann_r%20*%20np.sin(_alpha_min%20-%200.15))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D10%2C%20color%3D'darkred'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3D'darkred'%2C%20lw%3D1)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf'%24%5Calpha_%7B%7B%5Cmax%7D%7D%20%3D%20%5Cpi%20-%20%5Carcsin%20w%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(ell_tilde_val%20*%20np.cos(_alpha_max)%2C%20ell_tilde_val%20*%20np.sin(_alpha_max))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(_ann_r%20*%20np.cos(_alpha_max%20%2B%200.15)%2C%20_ann_r%20*%20np.sin(_alpha_max%20%2B%200.15))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D10%2C%20color%3D'darkred'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3D'darkred'%2C%20lw%3D1)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Costate%20arrows%20on%20usable%20arc%20(pointing%20radially%20outward)%0A%20%20%20%20_n_arrows%20%3D%205%0A%20%20%20%20_arrow_alphas%20%3D%20np.linspace(_alpha_min%20%2B%200.15%2C%20_alpha_max%20-%200.15%2C%20_n_arrows)%0A%20%20%20%20for%20_a%20in%20_arrow_alphas%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_lam%20%3D%20-1.0%20%2F%20(ell_tilde_val%20*%20(w_val%20-%20np.sin(_a)))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Arrow%20length%20proportional%20to%20lambda%20(capped%20for%20display)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_arrow_len%20%3D%20min(_lam%20*%20ell_tilde_val%20*%200.15%2C%20ell_tilde_val%20*%200.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_base%20%3D%20ell_tilde_val%20*%20np.array(%5Bnp.cos(_a)%2C%20np.sin(_a)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_direction%20%3D%20np.array(%5Bnp.cos(_a)%2C%20np.sin(_a)%5D)%20%20%23%20radially%20outward%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20''%2C%20xy%3D_base%20%2B%20_arrow_len%20*%20_direction%2C%20xytext%3D_base%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3D'%232855a1'%2C%20lw%3D1.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20X%20marks%20on%20non-usable%20part%0A%20%20%20%20_bad_alphas%20%3D%20%5B_alpha_min%20*%200.4%2C%20np.pi%20%2B%200.3%2C%202%20*%20np.pi%20-%20_alpha_min%20*%200.4%5D%0A%20%20%20%20for%20_a%20in%20_bad_alphas%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_pt%20%3D%20ell_tilde_val%20*%20np.array(%5Bnp.cos(_a)%2C%20np.sin(_a)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(*_pt%2C%20'x'%2C%20color%3D'gray'%2C%20markersize%3D8%2C%20markeredgewidth%3D2%2C%20alpha%3D0.6)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Horizontal%20threshold%20line%20showing%20sin(alpha)%20%3D%20w%20geometrically%0A%20%20%20%20_ax.axhline(y%3Dw_val%20*%20ell_tilde_val%2C%20color%3D'gray'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D1%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax.text(ell_tilde_val%20*%201.1%2C%20w_val%20*%20ell_tilde_val%20%2B%200.02%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf'%24x_2%20%3D%20w%20%5Ccdot%20%5Ctilde%7B%7B%5Cell%7D%7D%24'%2C%20fontsize%3D9%2C%20color%3D'gray'%2C%20alpha%3D0.7)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Pursuer%20at%20origin%0A%20%20%20%20_ax.plot(0%2C%200%2C%20'k%2B'%2C%20markersize%3D12%2C%20markeredgewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax.annotate(r'%24P%24'%2C%20(0.04%2C%20-0.08)%2C%20fontsize%3D12)%0A%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(r'%24x_1%24')%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(r'%24x_2%24')%0A%20%20%20%20_ax.set_aspect('equal')%0A%20%20%20%20_lim%20%3D%20ell_tilde_val%20*%201.8%0A%20%20%20%20_ax.set_xlim(-_lim%2C%20_lim)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylim(-_lim%2C%20_lim)%0A%20%20%20%20_ax.set_title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf'Usable%20Part%20of%20Terminal%20Circle%20'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf'(%24w%20%3D%20%7Bw_val%3A.3f%7D%24%2C%20%24%5Ctilde%7B%7B%5Cell%7D%7D%20%3D%20%7Bell_tilde_val%3A.3f%7D%24)'%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.legend(loc%3D'lower%20right'%2C%20fontsize%3D9)%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20terminal%20circle%20%24x_1%5E2%20%2B%20x_2%5E2%20%3D%20%5Ctilde%7B%7B%5Cell%7D%7D%5E2%24%20is%20shown%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20with%20the%20**usable%20part**%20highlighted%20in%20red%20%E2%80%94%20the%20arc%20where%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Csin%5Calpha%20%3E%20w%24%20(currently%20%24w%20%3D%20%7Bw_val%3A.3f%7D%24).%20Only%20from%20these%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20points%20can%20backward%20characteristics%20begin%20with%20%24%5Clambda%20%3E%200%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(the%20transversality%20multiplier).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20**blue%20arrows**%20are%20the%20costate%20vectors%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cmathbf%7B%7Bp%7D%7D(T)%20%3D%20%5Clambda%20%5C%2C%20%5Cmathbf%7B%7Bx%7D%7D(T)%24%2C%20pointing%20radially%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20outward.%20Their%20length%20is%20proportional%20to%20%24%5Clambda(%5Calpha)%24%2C%20which%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20diverges%20at%20the%20endpoints%20of%20the%20usable%20arc%20(where%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Csin%5Calpha%20%3D%20w%24)%20and%20is%20smallest%20at%20%24%5Calpha%20%3D%20%5Cpi%2F2%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20gray%20**%C3%97**%20marks%20indicate%20non-usable%20points%20where%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Clambda%20%3C%200%24.%20Adjust%20the%20sliders%20above%20to%20see%20how%20the%20usable%20arc%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**shrinks%20as%20%24w%24%20increases**%3A%20at%20%24w%20%5Cto%200%24%20the%20entire%20upper%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20semicircle%20is%20usable%3B%20at%20%24w%20%5Cto%201%24%20it%20collapses%20to%20a%20single%20point.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20trajectory_sliders(mo)%3A%0A%20%20%20%20n_traj_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D5%2C%20stop%3D50%2C%20step%3D5%2C%20value%3D20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Number%20of%20trajectories%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20T_horizon_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1.0%2C%20stop%3D20.0%2C%20step%3D0.5%2C%20value%3D8.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Backward%20time%20horizon%20%24T%24%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Trajectory%20Controls%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_traj_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20T_horizon_slider%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20T_horizon_slider%2C%20n_traj_slider%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20backward_trajectories(%0A%20%20%20%20T_horizon_slider%2C%0A%20%20%20%20compute_terminal_conditions%2C%0A%20%20%20%20ell_tilde_val%2C%0A%20%20%20%20n_traj_slider%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20rhs_backward%2C%0A%20%20%20%20solve_ivp%2C%0A%20%20%20%20w_val%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20n_traj%20%3D%20n_traj_slider.value%0A%20%20%20%20T_horizon%20%3D%20T_horizon_slider.value%0A%0A%20%20%20%20%23%20Usable%20part%3A%20alpha%20in%20(arcsin(w)%2C%20pi%20-%20arcsin(w))%0A%20%20%20%20_alpha_min%20%3D%20np.arcsin(min(w_val%2C%200.999))%0A%20%20%20%20_alpha_max%20%3D%20np.pi%20-%20_alpha_min%0A%0A%20%20%20%20%23%20Sample%20angles%20on%20the%20usable%20part%20(excluding%20exact%20endpoints)%0A%20%20%20%20_eps%20%3D%201e-3%0A%20%20%20%20alphas%20%3D%20np.linspace(_alpha_min%20%2B%20_eps%2C%20_alpha_max%20-%20_eps%2C%20n_traj)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Compute%20terminal%20conditions%0A%20%20%20%20terminal_states%20%3D%20compute_terminal_conditions(alphas%2C%20w_val%2C%20ell_tilde_val)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Integrate%20each%20trajectory%20backward%0A%20%20%20%20trajectories%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_i%20in%20range(n_traj)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_sol%20%3D%20solve_ivp(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rhs_backward%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0%2C%20T_horizon%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20terminal_states%5B_i%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20args%3D(w_val%2C)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20method%3D'RK45'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20max_step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dense_output%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rtol%3D1e-10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20atol%3D1e-12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20trajectories.append(_sol)%0A%20%20%20%20return%20(trajectories%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20trajectory_plot(ell_tilde_val%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20trajectories%2C%20w_val)%3A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(1%2C%201%2C%20figsize%3D(8%2C%208))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Terminal%20circle%0A%20%20%20%20_theta%20%3D%20np.linspace(0%2C%202%20*%20np.pi%2C%20200)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ell_tilde_val%20*%20np.cos(_theta)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ell_tilde_val%20*%20np.sin(_theta)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20'k--'%2C%20linewidth%3D1%2C%20alpha%3D0.5%2C%20label%3D'Terminal%20circle'%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Usable%20part%20(bold)%0A%20%20%20%20_alpha_min%20%3D%20np.arcsin(min(w_val%2C%200.999))%0A%20%20%20%20_alpha_max%20%3D%20np.pi%20-%20_alpha_min%0A%20%20%20%20_usable%20%3D%20np.linspace(_alpha_min%2C%20_alpha_max%2C%20100)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ell_tilde_val%20*%20np.cos(_usable)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ell_tilde_val%20*%20np.sin(_usable)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20'r-'%2C%20linewidth%3D3%2C%20alpha%3D0.8%2C%20label%3D'Usable%20part'%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20trajectories%20(backward%20time%20%3D%20forward%20in%20plot)%0A%20%20%20%20_cmap%20%3D%20plt.cm.viridis%0A%20%20%20%20_mid%20%3D%20(len(trajectories)%20-%201)%20%2F%202.0%0A%20%20%20%20for%20_i%2C%20_sol%20in%20enumerate(trajectories)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_color%20%3D%20_cmap(abs(_i%20-%20_mid)%20%2F%20max(_mid%2C%201))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_sol.y%5B0%5D%2C%20_sol.y%5B1%5D%2C%20'-'%2C%20color%3D_color%2C%20linewidth%3D0.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.7)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_sol.y%5B0%2C%20-1%5D%2C%20_sol.y%5B1%2C%20-1%5D%2C%20'o'%2C%20color%3D_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20markersize%3D3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Pursuer%20at%20origin%0A%20%20%20%20_ax.plot(0%2C%200%2C%20'k%2B'%2C%20markersize%3D12%2C%20markeredgewidth%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(r'%24x_1%24%20(perpendicular)')%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(r'%24x_2%24%20(along%20heading)')%0A%20%20%20%20_ax.set_aspect('equal')%0A%20%20%20%20_ax.set_title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf'Optimal%20Trajectories%20(%24w%20%3D%20%7Bw_val%3A.3f%7D%24%2C%20'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf'%24%5Ctilde%7B%7B%5Cell%7D%7D%20%3D%20%7Bell_tilde_val%3A.3f%7D%24)'%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.legend(loc%3D'lower%20right'%2C%20fontsize%3D9)%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20plot%20shows%20a%20family%20of%20**optimal%20trajectories**%20integrated%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**backward%20in%20time**%20from%20the%20usable%20part%20of%20the%20terminal%20circle%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(red%20arc).%20Each%20curve%20begins%20on%20the%20capture%20circle%20at%20%24%5Ctau%20%3D%200%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(the%20moment%20of%20capture)%20and%20extends%20outward%20as%20backward%20time%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Ctau%24%20increases.%20In%20forward%20time%2C%20these%20are%20the%20paths%20along%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20which%20the%20pursuer%20closes%20in%20on%20the%20evader%20under%20optimal%20play%20by%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20both%20sides.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Reading%20the%20colors%3A**%20trajectories%20are%20colored%20by%20their%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20distance%20from%20the%20**center**%20of%20the%20usable%20arc%20%E2%80%94%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colormap%20is%20folded%20so%20that%20mirrored%20characteristics%20on%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20opposite%20sides%20of%20the%20%24x_2%24%20axis%20share%20the%20same%20color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20making%20the%20reflection%20symmetry%20of%20the%20solution%20visually%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20apparent.%20The%20colored%20dots%20mark%20each%20trajectory's%20position%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20at%20%24%5Ctau%20%3D%20T_%7B%5Ctext%7Bhorizon%7D%7D%24%2C%20the%20farthest%20point%20reached%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20by%20the%20backward%20integration.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20pursuer%20sits%20at%20the%20origin%20(black%20cross).%20Trajectories%20spiral%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20outward%20because%20the%20pursuer's%20turning%20constraint%20forces%20curved%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20approach%20paths.%20The%20outer%20ends%20are%20cut%20off%20at%20the%20chosen%20time%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20horizon%20%E2%80%94%20increasing%20%24T_%7B%5Ctext%7Bhorizon%7D%7D%24%20via%20the%20slider%20above%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20extends%20them%20further.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Sharp%20kinks**%20in%20the%20trajectories%20are%20**bang-bang%20switching%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20points**%20%E2%80%94%20instants%20where%20the%20switching%20function%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Csigma%20%3D%20p_2%20x_1%20-%20p_1%20x_2%24%20crosses%20zero%20and%20the%20pursuer's%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20optimal%20control%20jumps%20from%20hard%20left%20(%24%5Cphi%20%3D%20%2B1%24)%20to%20hard%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20right%20(%24%5Cphi%20%3D%20-1%24)%20or%20vice%20versa.%20The%20position%20is%20continuous%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20but%20the%20curvature%20reverses%20abruptly.%20This%20is%20expected%20behavior%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20the%20optimal%20bang-bang%20control%2C%20not%20a%20numerical%20artifact.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Note%20that%20these%20curves%20show%20the%20evader's%20position%20in%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pursuer's%20**rotating%20body%20frame**%20%E2%80%94%20the%20turning%20radius%20constraint%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20applies%20to%20the%20pursuer's%20lab-frame%20path%2C%20not%20to%20these%20relative%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20trajectories.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20evader_vector_field(ell_tilde_val%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20trajectories%2C%20w_val)%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Step%201%3A%20Collect%20(x1%2C%20x2%2C%20p1%2C%20p2%2C%20idx)%20from%20characteristics%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20%23%20The%20costate%20(p%E2%82%81%2C%20p%E2%82%82)%20at%20each%20trajectory%20point%20IS%20the%20analytic%20%E2%88%87V%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20%23%20exact%20from%20the%20ODE%20integration.%20No%20interpolation%20needed.%0A%20%20%20%20_all_x1%2C%20_all_x2%2C%20_all_p1%2C%20_all_p2%2C%20_all_idx%20%3D%20%5B%5D%2C%20%5B%5D%2C%20%5B%5D%2C%20%5B%5D%2C%20%5B%5D%0A%20%20%20%20_n_traj%20%3D%20len(trajectories)%0A%20%20%20%20for%20_i%2C%20_sol%20in%20enumerate(trajectories)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x1%2C%20_x2%2C%20_p1%2C%20_p2%20%3D%20_sol.y%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_all_x1.append(_x1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_all_x2.append(_x2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_all_p1.append(_p1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_all_p2.append(_p2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_all_idx.append(np.full(len(_x1)%2C%20_i))%0A%0A%20%20%20%20_all_x1%20%3D%20np.concatenate(_all_x1)%0A%20%20%20%20_all_x2%20%3D%20np.concatenate(_all_x2)%0A%20%20%20%20_all_p1%20%3D%20np.concatenate(_all_p1)%0A%20%20%20%20_all_p2%20%3D%20np.concatenate(_all_p2)%0A%20%20%20%20_all_idx%20%3D%20np.concatenate(_all_idx)%0A%20%20%20%20_points%20%3D%20np.column_stack(%5B_all_x1%2C%20_all_x2%5D)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Step%202%3A%20Arrow%20grid%20with%20half-step%20offset%20(no%20x1%3D0)%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_x1_lim%20%3D%204.0%0A%20%20%20%20_x2_lim%20%3D%202.0%0A%20%20%20%20_n_x1_arr%20%3D%2012%0A%20%20%20%20_n_x2_arr%20%3D%206%0A%20%20%20%20_x1_step%20%3D%20_x1_lim%20%2F%20_n_x1_arr%0A%20%20%20%20_x2_step%20%3D%20_x2_lim%20%2F%20_n_x2_arr%0A%20%20%20%20_x1_half%20%3D%20np.linspace(_x1_step%20%2F%202%2C%20_x1_lim%20-%20_x1_step%20%2F%202%2C%20_n_x1_arr)%0A%20%20%20%20_x2_arr%20%3D%20np.linspace(-_x2_lim%20%2B%20_x2_step%20%2F%202%2C%20_x2_lim%20-%20_x2_step%20%2F%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%202%20*%20_n_x2_arr)%0A%20%20%20%20_x1_ahalf%2C%20_x2_agrid%20%3D%20np.meshgrid(_x1_half%2C%20_x2_arr)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Step%203%3A%20Nearest%20trajectory%20point%20%E2%86%92%20analytic%20costate%20heading%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_hflat%20%3D%20np.column_stack(%5B_x1_ahalf.ravel()%2C%20_x2_agrid.ravel()%5D)%0A%20%20%20%20_dists%20%3D%20np.linalg.norm(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_points%5Bnp.newaxis%2C%20%3A%2C%20%3A%5D%20-%20_hflat%5B%3A%2C%20np.newaxis%2C%20%3A%5D%2C%20axis%3D2%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_nearest%20%3D%20np.argmin(_dists%2C%20axis%3D1)%0A%20%20%20%20_min_dist%20%3D%20_dists%5Bnp.arange(len(_nearest))%2C%20_nearest%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20Costate%20at%20nearest%20point%20%E2%86%92%20unit%20heading%0A%20%20%20%20_p1_near%20%3D%20_all_p1%5B_nearest%5D%0A%20%20%20%20_p2_near%20%3D%20_all_p2%5B_nearest%5D%0A%20%20%20%20_norm%20%3D%20np.sqrt(_p1_near**2%20%2B%20_p2_near**2)%0A%20%20%20%20_norm%20%3D%20np.where(_norm%20%3E%201e-12%2C%20_norm%2C%201.0)%0A%20%20%20%20_sin_half%20%3D%20(_p1_near%20%2F%20_norm).reshape(_x1_ahalf.shape)%0A%20%20%20%20_cos_half%20%3D%20(_p2_near%20%2F%20_norm).reshape(_x1_ahalf.shape)%0A%20%20%20%20_idx_half%20%3D%20_all_idx%5B_nearest%5D.reshape(_x1_ahalf.shape)%0A%20%20%20%20_valid_half%20%3D%20_min_dist.reshape(_x1_ahalf.shape)%20%3C%201.0%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Step%204%3A%20Mirror%20to%20full%20grid%20for%20exact%20x1%20symmetry%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_sin_left%20%3D%20-_sin_half%5B%3A%2C%20%3A%3A-1%5D%0A%20%20%20%20_cos_left%20%3D%20_cos_half%5B%3A%2C%20%3A%3A-1%5D%0A%20%20%20%20_valid_left%20%3D%20_valid_half%5B%3A%2C%20%3A%3A-1%5D%0A%20%20%20%20_idx_left%20%3D%20(_n_traj%20-%201)%20-%20_idx_half%5B%3A%2C%20%3A%3A-1%5D%0A%0A%20%20%20%20_sin_psi%20%3D%20np.concatenate(%5B_sin_left%2C%20_sin_half%5D%2C%20axis%3D1)%0A%20%20%20%20_cos_psi%20%3D%20np.concatenate(%5B_cos_left%2C%20_cos_half%5D%2C%20axis%3D1)%0A%20%20%20%20_valid%20%3D%20np.concatenate(%5B_valid_left%2C%20_valid_half%5D%2C%20axis%3D1)%0A%20%20%20%20_nearest_idx%20%3D%20np.concatenate(%5B_idx_left%2C%20_idx_half%5D%2C%20axis%3D1)%0A%0A%20%20%20%20_x1_full%20%3D%20np.concatenate(%5B-_x1_half%5B%3A%3A-1%5D%2C%20_x1_half%5D)%0A%20%20%20%20_x1_grid%2C%20_x2_grid%20%3D%20np.meshgrid(_x1_full%2C%20_x2_arr)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Folded%20colormap%3A%20mirrored%20characteristics%20share%20the%20same%20color%0A%20%20%20%20_cmap%20%3D%20plt.cm.viridis%0A%20%20%20%20_mid%20%3D%20(_n_traj%20-%201)%20%2F%202.0%0A%20%20%20%20_char_colors%20%3D%20_cmap(np.abs(_nearest_idx%20-%20_mid)%20%2F%20max(_mid%2C%201))%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Plot%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(1%2C%201%2C%20figsize%3D(10%2C%206))%0A%0A%20%20%20%20for%20_i%20in%20range(_x1_grid.shape%5B0%5D)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_j%20in%20range(_x1_grid.shape%5B1%5D)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_valid%5B_i%2C%20_j%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.quiver(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x1_grid%5B_i%2C%20_j%5D%2C%20_x2_grid%5B_i%2C%20_j%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_sin_psi%5B_i%2C%20_j%5D%2C%20_cos_psi%5B_i%2C%20_j%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_char_colors%5B_i%2C%20_j%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pivot%3D'mid'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20scale%3D30%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D0.004%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Terminal%20circle%0A%20%20%20%20_theta%20%3D%20np.linspace(0%2C%202%20*%20np.pi%2C%20200)%0A%20%20%20%20_ax.plot(ell_tilde_val%20*%20np.cos(_theta)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ell_tilde_val%20*%20np.sin(_theta)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'k--'%2C%20linewidth%3D1%2C%20alpha%3D0.5%2C%20label%3D'Terminal%20circle')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Usable%20part%20(bold)%0A%20%20%20%20_alpha_min%20%3D%20np.arcsin(min(w_val%2C%200.999))%0A%20%20%20%20_alpha_max%20%3D%20np.pi%20-%20_alpha_min%0A%20%20%20%20_usable%20%3D%20np.linspace(_alpha_min%2C%20_alpha_max%2C%20100)%0A%20%20%20%20_ax.plot(ell_tilde_val%20*%20np.cos(_usable)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ell_tilde_val%20*%20np.sin(_usable)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'r-'%2C%20linewidth%3D3%2C%20alpha%3D0.8%2C%20label%3D'Usable%20part')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Pursuer%20at%20origin%0A%20%20%20%20_ax.plot(0%2C%200%2C%20'k%2B'%2C%20markersize%3D12%2C%20markeredgewidth%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(r'%24x_1%24%20(perpendicular)')%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(r'%24x_2%24%20(along%20heading)')%0A%20%20%20%20_ax.set_aspect('equal')%0A%20%20%20%20_ax.set_title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22Evader's%20Optimal%20Heading%20Field%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22(%24w%20%3D%20%7Bw_val%3A.3f%7D%24%2C%20%24%5Ctilde%7B%7B%5Cell%7D%7D%20%3D%20%7Bell_tilde_val%3A.3f%7D%24)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.legend(loc%3D'lower%20right'%2C%20fontsize%3D9)%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Reading%20the%20axes%3A**%20the%20pursuer%20sits%20at%20the%20origin%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20drives%20**upward**%20(in%20the%20%24%2Bx_2%24%20direction).%20The%20evader's%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20position%20relative%20to%20the%20pursuer%20is%20%24(x_1%2C%20x_2)%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20naive%20guess%20is%20that%20the%20evader%20simply%20runs%20**radially%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20away**%20from%20the%20pursuer.%20Each%20arrow%20here%20shows%20the%20actual%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20optimal%20heading%20%24%5Cpsi%5E*%24%20from%20the%20**analytic%20costate**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cmathbf%7Bp%7D%20%3D%20%5Cnabla%20V%24%20at%20the%20nearest%20trajectory%20point%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20exact%20gradient%20from%20the%20ODE%20integration.%20Since%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cpsi%5E*%20%3D%20%5Ctext%7Batan2%7D(p_1%2C%20p_2)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20evader%20heads%20in%20the%20direction%20of%20**steepest%20increase%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20of%20capture%20time**.%20Using%20the%20costate%20directly%20from%20its%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20nearest%20characteristic%20avoids%20interpolation%20across%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20characteristic%20families%2C%20so%20headings%20are%20never%20averaged%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20across%20the%20singular%20surfaces%20from%20%C2%A77.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Near%20the%20terminal%20circle**%20the%20headings%20are%20roughly%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20radial%20%E2%80%94%20the%20evader%20runs%20directly%20away.%20Farther%20out%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20evader%20**runs%20perpendicular**%20to%20the%20pursuer's%20heading%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20to%20exploit%20the%20turning%20constraint%20%E2%80%94%20a%20hallmark%20of%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Homicidal%20Chauffeur%20solution.%20This%20is%20visible%20in%20the%20%C2%A71%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20chase%20demo%3A%20the%20evader%20initially%20heads%20*toward*%20the%20pursuer%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rather%20than%20away%20%E2%80%94%20running%20past%20the%20car%20to%20exploit%20the%20blind%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20spot%20behind%20it%2C%20where%20the%20turning%20constraint%20forces%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pursuer%20into%20a%20costly%20U-turn.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20**colors**%20partition%20the%20state%20space%20by%20nearest%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20characteristic%20(folded%20colormap%2C%20so%20mirrored%20pairs%20share%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colors).%20Color%20boundaries%20approximate%20the%20**singular%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20surfaces**%20from%20%C2%A77.%20The%20%24x_1%20%3D%200%24%20axis%20is%20the%20**dispersal%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line**%20%E2%80%94%20both%20left%20and%20right%20turns%20are%20equally%20optimal%20for%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20pursuer.%20No%20arrows%20are%20placed%20on%20this%20line%20(the%20optimal%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20heading%20is%20singular%20there).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20**gap%20behind%20the%20pursuer**%20(small%20%24%7Cx_1%7C%24%2C%20%24x_2%20%3C%200%24)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20is%20physical%3A%20no%20backward%20characteristics%20emanate%20from%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20non-usable%20lower%20arc%20of%20the%20terminal%20circle%20%E2%80%94%20that%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20precisely%20where%20the%20evader%20*cannot*%20be%20captured%20on%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20boundary.%20This%20is%20the%20pursuer's%20**blind%20spot**%3A%20the%20pursuer%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20drives%20in%20the%20%24%2Bx_2%24%20direction%20and%20its%20minimum%20turning%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20radius%20prevents%20an%20immediate%20U-turn%2C%20so%20capture%20times%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20behind%20the%20pursuer%20are%20very%20long.%20Increase%20%24T%24%20to%20see%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20characteristics%20curl%20into%20this%20region.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Other%20**blank%20areas**%20lie%20outside%20the%20backward%20reachable%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20set%20%E2%80%94%20increase%20%24T%24%20with%20the%20slider%20above%20to%20extend%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20coverage.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20time_slider(T_horizon_slider%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20t_display_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3DT_horizon_slider.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3DT_horizon_slider.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Display%20time%20%CF%84%20(backward%20from%20capture)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Time-Stepping%20Controls%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_display_slider%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20(t_display_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20trajectory_animation_plot(%0A%20%20%20%20ell_tilde_val%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20t_display_slider%2C%0A%20%20%20%20trajectories%2C%0A%20%20%20%20w_val%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_tau%20%3D%20t_display_slider.value%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(1%2C%201%2C%20figsize%3D(8%2C%208))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Terminal%20circle%0A%20%20%20%20_theta%20%3D%20np.linspace(0%2C%202%20*%20np.pi%2C%20200)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ell_tilde_val%20*%20np.cos(_theta)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ell_tilde_val%20*%20np.sin(_theta)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20'k--'%2C%20linewidth%3D1%2C%20alpha%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Usable%20arc%0A%20%20%20%20_alpha_min%20%3D%20np.arcsin(min(w_val%2C%200.999))%0A%20%20%20%20_alpha_max%20%3D%20np.pi%20-%20_alpha_min%0A%20%20%20%20_usable%20%3D%20np.linspace(_alpha_min%2C%20_alpha_max%2C%20100)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ell_tilde_val%20*%20np.cos(_usable)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ell_tilde_val%20*%20np.sin(_usable)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20'r-'%2C%20linewidth%3D3%2C%20alpha%3D0.8%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_cmap%20%3D%20plt.cm.viridis%0A%20%20%20%20_n%20%3D%20len(trajectories)%0A%0A%20%20%20%20for%20_i%2C%20_sol%20in%20enumerate(trajectories)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_color%20%3D%20_cmap(_i%20%2F%20max(_n%20-%201%2C%201))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Only%20show%20trajectory%20up%20to%20current%20tau%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_t_max%20%3D%20min(_tau%2C%20_sol.t%5B-1%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_t_max%20%3C%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Just%20show%20the%20starting%20point%20on%20the%20terminal%20circle%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_sol.y%5B0%2C%200%5D%2C%20_sol.y%5B1%2C%200%5D%2C%20'o'%2C%20color%3D_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20markersize%3D4%2C%20alpha%3D0.8)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Evaluate%20dense%20output%20at%20evenly%20spaced%20times%20up%20to%20tau%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_n_pts%20%3D%20max(int(_t_max%20*%2030)%2C%2010)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_t_eval%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_t_max%2C%20_n_pts)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_states%20%3D%20_sol.sol(_t_eval)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Faded%20trail%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_states%5B0%5D%2C%20_states%5B1%5D%2C%20'-'%2C%20color%3D_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D0.6%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Recent%20portion%20(last%2020%25)%20brighter%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_recent_start%20%3D%20max(0%2C%20int(0.8%20*%20_n_pts))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_states%5B0%2C%20_recent_start%3A%5D%2C%20_states%5B1%2C%20_recent_start%3A%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'-'%2C%20color%3D_color%2C%20linewidth%3D1.2%2C%20alpha%3D0.8)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Current%20position%20dot%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_states%5B0%2C%20-1%5D%2C%20_states%5B1%2C%20-1%5D%2C%20'o'%2C%20color%3D_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20markersize%3D5%2C%20markeredgecolor%3D'black'%2C%20markeredgewidth%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20_ax.plot(0%2C%200%2C%20'k%2B'%2C%20markersize%3D12%2C%20markeredgewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(r'%24x_1%24%20(perpendicular)')%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(r'%24x_2%24%20(along%20heading)')%0A%20%20%20%20_ax.set_aspect('equal')%0A%20%20%20%20_ax.set_title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf'Backward%20Trajectories%20at%20%24%5Ctau%20%3D%20%7B_tau%3A.1f%7D%24%20'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf'(%24w%20%3D%20%7Bw_val%3A.3f%7D%24%2C%20%24%5Ctilde%7B%7B%5Cell%7D%7D%20%3D%20%7Bell_tilde_val%3A.3f%7D%24)'%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Drag%20the%20**%CF%84%20slider**%20to%20watch%20optimal%20trajectories%20build%20up%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20backward%20in%20time%20from%20the%20capture%20circle.%20At%20%24%5Ctau%20%3D%200%24%2C%20all%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20paths%20begin%20on%20the%20usable%20arc%20(red).%20As%20%24%5Ctau%24%20increases%2C%20paths%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20extend%20outward%20%E2%80%94%20the%20colored%20dots%20show%20each%20trajectory's%20current%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20position.%20The%20faded%20trail%20shows%20the%20full%20path%20traced%20so%20far.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20This%20reveals%20the%20**reachable%20set%20growing**%3A%20at%20any%20displayed%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Ctau%24%2C%20the%20dots%20mark%20the%20boundary%20of%20states%20from%20which%20capture%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20is%20guaranteed%20within%20that%20time.%20The%20bang-bang%20switching%20points%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(kinks)%20become%20visible%20as%20individual%20trajectories%20cross%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20switching%20surface%20%24%5Csigma%20%3D%200%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20physical_trajectories(%0A%20%20%20%20compute_terminal_conditions%2C%0A%20%20%20%20ell_tilde_val%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20rhs_backward%2C%0A%20%20%20%20solve_ivp%2C%0A%20%20%20%20trajectories%2C%0A%20%20%20%20w_val%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22Lift%20backward%20reduced%20solutions%20to%20forward-time%20lab-frame%20coordinates.%0A%0A%20%20%20%20For%20each%20backward%20solution%20(x1(tau)%2C%20x2(tau)%2C%20p1(tau)%2C%20p2(tau))%3A%0A%20%20%20%20%20%201.%20Recover%20pursuer%20heading%20theta(tau)%20by%20integrating%20d(theta)%2Fd(tau)%20%3D%20-phi*%0A%20%20%20%20%20%202.%20Recover%20evader%20lab-frame%20position%20(straight%20line%20per%20characteristic)%0A%20%20%20%20%20%203.%20Recover%20pursuer%20position%20from%20inverse%20body-frame%20rotation%0A%20%20%20%20%20%204.%20Flip%20to%20forward%20time%20and%20shift%20so%20evader%20starts%20at%20(0%2C0)%0A%0A%20%20%20%20Also%20builds%20one%20composite%20trajectory%20from%20two%20crossing%20characteristics%0A%20%20%20%20(alpha_A%3D40deg%2C%20alpha_B%3D95deg)%20matching%20the%20static%20demo%20in%20section%201.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20from%20scipy.integrate%20import%20cumulative_trapezoid%0A%0A%20%20%20%20_N%20%3D%20300%20%20%23%20dense%20evaluation%20points%20per%20trajectory%0A%0A%20%20%20%20def%20_adaptive_tau(sol%2C%20t0%2C%20t1%2C%20N)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Build%20adaptive%20time%20grid%20with%20more%20points%20near%20%CF%83%E2%89%880%20switches.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_nc%20%3D%20200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_tc%20%3D%20np.linspace(t0%2C%20t1%2C%20_nc)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_sc%20%3D%20sol.sol(_tc)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_sig%20%3D%20_sc%5B3%5D%20*%20_sc%5B0%5D%20-%20_sc%5B2%5D%20*%20_sc%5B1%5D%20%20%20%23%20%CF%83%20%3D%20p2*x1%20-%20p1*x2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Concentrate%20points%20where%20%CF%83%20is%20near%20zero%20(bang-bang%20switches)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_eps%20%3D%200.05%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_wt%20%3D%201.0%20%2B%201.0%20%2F%20(np.abs(_sig)%20%2B%20_eps)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_cdf%20%3D%20cumulative_trapezoid(_wt%2C%20_tc%2C%20initial%3D0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_cdf%20%2F%3D%20_cdf%5B-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_u%20%3D%20np.linspace(0%2C%201%2C%20N)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_tau%20%3D%20np.interp(_u%2C%20_cdf%2C%20_tc)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_tau%5B0%5D%20%3D%20t0%3B%20_tau%5B-1%5D%20%3D%20t1%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20exact%20endpoints%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20_tau%0A%0A%20%20%20%20def%20_lift_single(sol)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Lift%20one%20backward%20characteristic%20to%20forward-time%20lab%20frame.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_T%20%3D%20sol.t%5B-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_tau%20%3D%20_adaptive_tau(sol%2C%200%2C%20_T%2C%20_N)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_states%20%3D%20sol.sol(_tau)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x1%2C%20_x2%2C%20_p1%2C%20_p2%20%3D%20_states%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_sigma%20%3D%20_p2%20*%20_x1%20-%20_p1%20*%20_x2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_star%20%3D%20-np.sign(_sigma)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_theta_cum%20%3D%20cumulative_trapezoid(-_phi_star%2C%20_tau%2C%20initial%3D0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_psi_lab%20%3D%20np.arctan2(_p1%5B0%5D%2C%20_p2%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_X_E%20%3D%20-w_val%20*%20np.cos(_psi_lab)%20*%20_tau%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Y_E%20%3D%20-w_val%20*%20np.sin(_psi_lab)%20*%20_tau%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_cos_th%20%3D%20np.cos(_theta_cum)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_sin_th%20%3D%20np.sin(_theta_cum)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dx%20%3D%20-_x1%20*%20_sin_th%20%2B%20_x2%20*%20_cos_th%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dy%20%3D%20_x1%20*%20_cos_th%20%2B%20_x2%20*%20_sin_th%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_X_P%20%3D%20_X_E%20-%20_dx%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Y_P%20%3D%20_Y_E%20-%20_dy%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_t_fwd%20%3D%20_T%20-%20_tau%5B%3A%3A-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_X_P%20%3D%20_X_P%5B%3A%3A-1%5D%3B%20_Y_P%20%3D%20_Y_P%5B%3A%3A-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_X_E%20%3D%20_X_E%5B%3A%3A-1%5D%3B%20_Y_E%20%3D%20_Y_E%5B%3A%3A-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_theta_fwd%20%3D%20_theta_cum%5B%3A%3A-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_X_P%20-%3D%20_X_E%5B0%5D%3B%20_Y_P%20-%3D%20_Y_E%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_X_E%20-%3D%20_X_E%5B0%5D%3B%20_Y_E%20-%3D%20_Y_E%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dist%20%3D%20np.sqrt((_X_P%20-%20_X_E)**2%20%2B%20(_Y_P%20-%20_Y_E)**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22t%22%3A%20_t_fwd%2C%20%22X_P%22%3A%20_X_P%2C%20%22Y_P%22%3A%20_Y_P%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22X_E%22%3A%20_X_E%2C%20%22Y_E%22%3A%20_Y_E%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22theta%22%3A%20_theta_fwd%2C%20%22dist%22%3A%20_dist%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20_phys%20%3D%20%5B_lift_single(_sol)%20for%20_sol%20in%20trajectories%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Composite%20trajectory%20matching%20the%20static%20demo%20(%C2%A71)%20---%0A%20%20%20%20%23%20Two%20characteristics%20that%20cross%20at%20a%20dispersal%20surface%2C%20producing%0A%20%20%20%20%23%20a%20~48deg%20evader%20direction%20change.%0A%20%20%20%20_alpha_A%20%3D%20np.radians(40.0)%0A%20%20%20%20_alpha_B%20%3D%20np.radians(95.0)%0A%20%20%20%20_T_bk%20%3D%2015.0%0A%20%20%20%20_sols_ab%20%3D%20%7B%7D%0A%20%20%20%20for%20_label%2C%20_alpha%20in%20%5B('A'%2C%20_alpha_A)%2C%20('B'%2C%20_alpha_B)%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ic%20%3D%20compute_terminal_conditions(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.array(%5B_alpha%5D)%2C%20w_val%2C%20ell_tilde_val%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s%20%3D%20solve_ivp(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rhs_backward%2C%20%5B0%2C%20_T_bk%5D%2C%20_ic%2C%20args%3D(w_val%2C)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20method%3D'RK45'%2C%20max_step%3D0.02%2C%20dense_output%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rtol%3D1e-12%2C%20atol%3D1e-14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_sols_ab%5B_label%5D%20%3D%20_s%0A%0A%20%20%20%20%23%20Find%20crossing%20in%20(x1%2C%20x2)%20space%0A%20%20%20%20_Nc%20%3D%202000%0A%20%20%20%20_tauA%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_sols_ab%5B'A'%5D.t%5B-1%5D%2C%20_Nc)%0A%20%20%20%20_tauB%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_sols_ab%5B'B'%5D.t%5B-1%5D%2C%20_Nc)%0A%20%20%20%20_sA%20%3D%20_sols_ab%5B'A'%5D.sol(_tauA)%0A%20%20%20%20_sB%20%3D%20_sols_ab%5B'B'%5D.sol(_tauB)%0A%20%20%20%20_min_d%20%3D%201e10%0A%20%20%20%20_ciA%20%3D%20_ciB%20%3D%200%0A%20%20%20%20for%20_ti%20in%20range(_Nc)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dists%20%3D%20np.sqrt((_sB%5B0%5D%20-%20_sA%5B0%2C%20_ti%5D)**2%20%2B%20(_sB%5B1%5D%20-%20_sA%5B1%2C%20_ti%5D)**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_idx%20%3D%20np.argmin(_dists)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_dists%5B_idx%5D%20%3C%20_min_d%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_min_d%20%3D%20_dists%5B_idx%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ciA%20%3D%20_ti%3B%20_ciB%20%3D%20_idx%0A%0A%20%20%20%20_tau_cA%20%3D%20_tauA%5B_ciA%5D%0A%20%20%20%20_tau_cB%20%3D%20_tauB%5B_ciB%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20Phase%201%3A%20characteristic%20A%20from%20capture%20(tau%3D0)%20to%20crossing%0A%20%20%20%20_N1%20%3D%20_N%0A%20%20%20%20_t1%20%3D%20_adaptive_tau(_sols_ab%5B'A'%5D%2C%200%2C%20_tau_cA%2C%20_N1)%0A%20%20%20%20_s1%20%3D%20_sols_ab%5B'A'%5D.sol(_t1)%0A%20%20%20%20_x1_1%2C%20_x2_1%2C%20_p1_1%2C%20_p2_1%20%3D%20_s1%0A%20%20%20%20_phi1%20%3D%20-np.sign(_p2_1%20*%20_x1_1%20-%20_p1_1%20*%20_x2_1)%0A%20%20%20%20_th1%20%3D%20cumulative_trapezoid(-_phi1%2C%20_t1%2C%20initial%3D0)%0A%20%20%20%20_psiA%20%3D%20np.arctan2(_p1_1%5B0%5D%2C%20_p2_1%5B0%5D)%0A%20%20%20%20_XE1%20%3D%20-w_val%20*%20np.cos(_psiA)%20*%20_t1%0A%20%20%20%20_YE1%20%3D%20-w_val%20*%20np.sin(_psiA)%20*%20_t1%0A%20%20%20%20_c1%2C%20_s1_%20%3D%20np.cos(_th1)%2C%20np.sin(_th1)%0A%20%20%20%20_XP1%20%3D%20_XE1%20-%20(-_x1_1%20*%20_s1_%20%2B%20_x2_1%20*%20_c1)%0A%20%20%20%20_YP1%20%3D%20_YE1%20-%20(_x1_1%20*%20_c1%20%2B%20_x2_1%20*%20_s1_)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Phase%202%3A%20characteristic%20B%20from%20crossing%20onward%0A%20%20%20%20_N2%20%3D%20_N%0A%20%20%20%20_t2B%20%3D%20_adaptive_tau(_sols_ab%5B'B'%5D%2C%20_tau_cB%2C%20_sols_ab%5B'B'%5D.t%5B-1%5D%2C%20_N2)%0A%20%20%20%20_s2%20%3D%20_sols_ab%5B'B'%5D.sol(_t2B)%0A%20%20%20%20_x1_2%2C%20_x2_2%2C%20_p1_2%2C%20_p2_2%20%3D%20_s2%0A%20%20%20%20_phi2%20%3D%20-np.sign(_p2_2%20*%20_x1_2%20-%20_p1_2%20*%20_x2_2)%0A%20%20%20%20_th_cross%20%3D%20_th1%5B-1%5D%0A%20%20%20%20_th2%20%3D%20_th_cross%20%2B%20cumulative_trapezoid(-_phi2%2C%20_t2B%2C%20initial%3D0)%0A%20%20%20%20_psiB%20%3D%20np.arctan2(_p1_2%5B0%5D%2C%20_p2_2%5B0%5D)%20%2B%20_th_cross%0A%20%20%20%20_dt2%20%3D%20_t2B%20-%20_t2B%5B0%5D%0A%20%20%20%20_XE2%20%3D%20_XE1%5B-1%5D%20-%20w_val%20*%20np.cos(_psiB)%20*%20_dt2%0A%20%20%20%20_YE2%20%3D%20_YE1%5B-1%5D%20-%20w_val%20*%20np.sin(_psiB)%20*%20_dt2%0A%20%20%20%20_c2%2C%20_s2_%20%3D%20np.cos(_th2)%2C%20np.sin(_th2)%0A%20%20%20%20_XP2%20%3D%20_XE2%20-%20(-_x1_2%20*%20_s2_%20%2B%20_x2_2%20*%20_c2)%0A%20%20%20%20_YP2%20%3D%20_YE2%20-%20(_x1_2%20*%20_c2%20%2B%20_x2_2%20*%20_s2_)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Concatenate%2C%20flip%20to%20forward%20time%2C%20shift%0A%20%20%20%20_XP_c%20%3D%20np.concatenate(%5B_XP1%2C%20_XP2%5B1%3A%5D%5D)%5B%3A%3A-1%5D%0A%20%20%20%20_YP_c%20%3D%20np.concatenate(%5B_YP1%2C%20_YP2%5B1%3A%5D%5D)%5B%3A%3A-1%5D%0A%20%20%20%20_XE_c%20%3D%20np.concatenate(%5B_XE1%2C%20_XE2%5B1%3A%5D%5D)%5B%3A%3A-1%5D%0A%20%20%20%20_YE_c%20%3D%20np.concatenate(%5B_YE1%2C%20_YE2%5B1%3A%5D%5D)%5B%3A%3A-1%5D%0A%20%20%20%20_th_c%20%3D%20np.concatenate(%5B_th1%2C%20_th2%5B1%3A%5D%5D)%5B%3A%3A-1%5D%0A%20%20%20%20_tau_c%20%3D%20np.concatenate(%5B_t1%2C%20_tau_cA%20%2B%20_dt2%5B1%3A%5D%5D)%0A%20%20%20%20_t_c%20%3D%20_tau_c%5B-1%5D%20-%20_tau_c%5B%3A%3A-1%5D%0A%20%20%20%20_XP_c%20-%3D%20_XE_c%5B0%5D%3B%20_YP_c%20-%3D%20_YE_c%5B0%5D%0A%20%20%20%20_XE_c%20-%3D%20_XE_c%5B0%5D%3B%20_YE_c%20-%3D%20_YE_c%5B0%5D%0A%20%20%20%20_dist_c%20%3D%20np.sqrt((_XP_c%20-%20_XE_c)**2%20%2B%20(_YP_c%20-%20_YE_c)**2)%0A%0A%20%20%20%20_composite%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22t%22%3A%20_t_c%2C%20%22X_P%22%3A%20_XP_c%2C%20%22Y_P%22%3A%20_YP_c%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22X_E%22%3A%20_XE_c%2C%20%22Y_E%22%3A%20_YE_c%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22theta%22%3A%20_th_c%2C%20%22dist%22%3A%20_dist_c%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22composite%22%3A%20True%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22switch_idx%22%3A%20len(_XP_c)%20-%20_N1%2C%20%20%23%20forward-time%20index%20of%20direction%20change%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20_phys.append(_composite)%0A%20%20%20%20composite_default_idx%20%3D%20len(_phys)%20-%201%0A%0A%20%20%20%20T_max_phys%20%3D%20max(p%5B%22t%22%5D%5B-1%5D%20for%20p%20in%20_phys)%0A%20%20%20%20physical_trajs%20%3D%20_phys%0A%20%20%20%20return%20T_max_phys%2C%20composite_default_idx%2C%20physical_trajs%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20forward_time_slider(T_max_phys%2C%20composite_default_idx%2C%20mo%2C%20physical_trajs)%3A%0A%20%20%20%20traj_index_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3Dlen(physical_trajs)%20-%201%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3Dcomposite_default_idx%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Trajectory%20index%20(last%20%3D%20composite%20with%20direction%20change)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20t_forward_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3DT_max_phys%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3DT_max_phys%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Forward%20time%20t%20(physical%20chase)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%20%C2%A79%20%E2%80%94%20Forward-Time%20Physical%20Chase%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20traj_index_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_forward_slider%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20t_forward_slider%2C%20traj_index_slider%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20physical_chase_plot(%0A%20%20%20%20ell_tilde_val%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20physical_trajs%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20t_forward_slider%2C%0A%20%20%20%20traj_index_slider%2C%0A%20%20%20%20w_val%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_t_now%20%3D%20t_forward_slider.value%0A%20%20%20%20_i_traj%20%3D%20traj_index_slider.value%0A%20%20%20%20_p%20%3D%20physical_trajs%5B_i_traj%5D%0A%20%20%20%20_t%20%3D%20_p%5B%22t%22%5D%0A%20%20%20%20_T_traj%20%3D%20_t%5B-1%5D%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(1%2C%201%2C%20figsize%3D(8%2C%208))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Find%20index%20up%20to%20current%20time%0A%20%20%20%20_t_clipped%20%3D%20min(_t_now%2C%20_T_traj)%0A%20%20%20%20_idx%20%3D%20max(0%2C%20min(np.searchsorted(_t%2C%20_t_clipped%2C%20side%3D'right')%2C%20len(_t)%20-%201))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Pursuer%20trail%20(solid%20blue)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_p%5B%22X_P%22%5D%5B%3A_idx%2B1%5D%2C%20_p%5B%22Y_P%22%5D%5B%3A_idx%2B1%5D%2C%20'-'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'%232166ac'%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.7%2C%20label%3D'Pursuer%20(fast%2C%20wide%20turns)')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Evader%20trail%20(dashed%20red)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_p%5B%22X_E%22%5D%5B%3A_idx%2B1%5D%2C%20_p%5B%22Y_E%22%5D%5B%3A_idx%2B1%5D%2C%20'--'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'%23b2182b'%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.7%2C%20label%3D'Evader%20(slow%2C%20agile)')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Start%20positions%0A%20%20%20%20_ax.plot(_p%5B%22X_P%22%5D%5B0%5D%2C%20_p%5B%22Y_P%22%5D%5B0%5D%2C%20'*'%2C%20color%3D'%232166ac'%2C%20markersize%3D14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20markeredgecolor%3D'black'%2C%20markeredgewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_p%5B%22X_E%22%5D%5B0%5D%2C%20_p%5B%22Y_E%22%5D%5B0%5D%2C%20'*'%2C%20color%3D'%23b2182b'%2C%20markersize%3D14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20markeredgecolor%3D'black'%2C%20markeredgewidth%3D0.5)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Current%20pursuer%20position%20%E2%80%94%20triangle%20oriented%20by%20heading%0A%20%20%20%20_xp%20%3D%20_p%5B%22X_P%22%5D%5B_idx%5D%0A%20%20%20%20_yp%20%3D%20_p%5B%22Y_P%22%5D%5B_idx%5D%0A%20%20%20%20_th%20%3D%20_p%5B%22theta%22%5D%5B_idx%5D%0A%20%20%20%20_sz%20%3D%200.4%0A%20%20%20%20_tri_x%20%3D%20%5B_xp%20%2B%20_sz%20*%20np.cos(_th)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_xp%20%2B%20_sz%20*%200.5%20*%20np.cos(_th%20%2B%202.4)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_xp%20%2B%20_sz%20*%200.5%20*%20np.cos(_th%20-%202.4)%5D%0A%20%20%20%20_tri_y%20%3D%20%5B_yp%20%2B%20_sz%20*%20np.sin(_th)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_yp%20%2B%20_sz%20*%200.5%20*%20np.sin(_th%20%2B%202.4)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_yp%20%2B%20_sz%20*%200.5%20*%20np.sin(_th%20-%202.4)%5D%0A%20%20%20%20_ax.fill(_tri_x%2C%20_tri_y%2C%20color%3D'%232166ac'%2C%20edgecolor%3D'black'%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Current%20evader%20position%20%E2%80%94%20circle%0A%20%20%20%20_xe%20%3D%20_p%5B%22X_E%22%5D%5B_idx%5D%0A%20%20%20%20_ye%20%3D%20_p%5B%22Y_E%22%5D%5B_idx%5D%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xe%2C%20_ye%2C%20'o'%2C%20color%3D'%23b2182b'%2C%20markersize%3D8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20markeredgecolor%3D'black'%2C%20markeredgewidth%3D0.5)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Capture%20circle%20around%20current%20pursuer%20position%0A%20%20%20%20_circ_th%20%3D%20np.linspace(0%2C%202%20*%20np.pi%2C%20100)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xp%20%2B%20ell_tilde_val%20*%20np.cos(_circ_th)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_yp%20%2B%20ell_tilde_val%20*%20np.sin(_circ_th)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'--'%2C%20color%3D'gray'%2C%20linewidth%3D1%2C%20alpha%3D0.5%2C%20label%3D'Capture%20radius')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Direction-change%20marker%20for%20composite%20trajectories%0A%20%20%20%20_is_composite%20%3D%20_p.get(%22composite%22%2C%20False)%0A%20%20%20%20if%20_is_composite%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_sw%20%3D%20_p%5B%22switch_idx%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_idx%20%3E%3D%20_sw%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_p%5B%22X_E%22%5D%5B_sw%5D%2C%20_p%5B%22Y_E%22%5D%5B_sw%5D%2C%20'D'%2C%20color%3D'%23b2182b'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20markersize%3D8%2C%20markeredgecolor%3D'black'%2C%20markeredgewidth%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D'Direction%20change')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Connecting%20line%0A%20%20%20%20_dist_now%20%3D%20_p%5B%22dist%22%5D%5B_idx%5D%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xp%2C%20_xe%5D%2C%20%5B_yp%2C%20_ye%5D%2C%20'-'%2C%20color%3D'gray'%2C%20linewidth%3D0.5%2C%20alpha%3D0.5)%0A%0A%20%20%20%20_label_type%20%3D%20%22composite%22%20if%20_is_composite%20else%20%22single%22%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(r'%24X%24%20(lab%20frame)')%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(r'%24Y%24%20(lab%20frame)')%0A%20%20%20%20_ax.set_aspect('equal')%0A%20%20%20%20_ax.set_title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf'Physical%20Chase%20at%20%24t%20%3D%20%7B_t_now%3A.1f%7D%24%20'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf'(%7B_label_type%7D%20%23%7B_i_traj%20%2B%201%7D%2F%7Blen(physical_trajs)%7D%2C%20'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf'%24w%20%3D%20%7Bw_val%3A.3f%7D%24%2C%20dist%20%24%3D%20%7B_dist_now%3A.2f%7D%24)'%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.legend(loc%3D'upper%20right'%2C%20fontsize%3D9)%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20This%20is%20the%20**same%20mathematical%20solution**%20as%20the%20backward%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20reduced-coordinate%20plots%20above%2C%20lifted%20to%20lab-frame%20physical%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20coordinates%20and%20displayed%20in%20forward%20time.%20Use%20the%20**trajectory%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20slider**%20to%20explore%20different%20initial%20conditions%20%E2%80%94%20most%20entries%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20follow%20a%20single%20characteristic%20(straight-line%20evader)%2C%20while%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**last%20entry**%20is%20the%20composite%20trajectory%20from%20%C2%A71%20showing%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dispersal-surface%20crossing%20and%20evader%20direction%20change.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Why%20does%20the%20evader%20run%20in%20a%20straight%20line%3F**%20It%20may%20look%20like%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20evader%20should%20try%20to%20dodge%20behind%20the%20pursuer%2C%20exploiting%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20wide%20turning%20circle.%20But%20the%20evader%20is%20*too%20slow*%20to%20make%20that%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20work%3A%20any%20detour%20costs%20more%20time%20than%20the%20turning%20advantage%20would%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gain.%20Instead%2C%20the%20evader%20picks%20the%20one%20heading%20that%20*maximally*%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20exploits%20the%20pursuer's%20turning%20constraint%20and%20commits%20to%20it.%20The%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mathematics%20confirms%20this%20%E2%80%94%20the%20costate%20rotation%20exactly%20cancels%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20pursuer's%20heading%20change%20(%24d%5Cpsi_%7B%5Ctext%7Blab%7D%7D%2Fdt%20%3D%200%24)%2C%20so%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20no%20heading%20correction%20can%20improve%20the%20outcome.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**When%20does%20the%20evader%20change%20direction%3F**%20Only%20when%20the%20game%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state%20crosses%20a%20**dispersal%20surface**%20%E2%80%94%20a%20boundary%20in%20state%20space%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20where%20two%20families%20of%20optimal%20characteristics%20meet.%20This%20happens%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20when%20the%20evader%20finds%20itself%20nearly%20behind%20the%20pursuer%20as%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pursuer%20swings%20through%20a%20U-turn.%20The%20evader%20doesn't%20*try*%20to%20get%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20behind%3B%20rather%2C%20the%20pursuer's%20own%20maneuver%20shifts%20the%20geometry%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20and%20the%20evader%20must%20switch%20to%20a%20new%20optimal%20heading.%20The%20last%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20slider%20position%20shows%20this%20composite%20trajectory%20(matching%20%C2%A71).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*Note%3A*%20the%20absolute%20orientation%20is%20arbitrary%20%E2%80%94%20we%20set%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Ctheta%20%3D%200%24%20at%20the%20moment%20of%20capture.%20Only%20the%20relative%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20geometry%20is%20determined%20by%20the%20game.%20The%20rendering%20uses%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**adaptive%20sampling**%20%E2%80%94%20more%20evaluation%20points%20are%20placed%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20near%20bang-bang%20switching%20points%20(where%20%24%5Csigma%20%5Capprox%200%24)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20to%20resolve%20the%20sharp%20curvature%20reversals%20in%20the%20pursuer's%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20path.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20reachable_set(%0A%20%20%20%20compute_terminal_conditions%2C%0A%20%20%20%20ell_tilde_val%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20rhs_backward%2C%0A%20%20%20%20solve_ivp%2C%0A%20%20%20%20w_val%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Integrate%2080%20backward%20trajectories%20once%20to%20T_max%20with%20dense%20output%2C%0A%20%20%20%20%23%20then%20extract%20both%20isochrone%20curves%20and%20a%20scatter%20field.%0A%20%20%20%20_alpha_min%20%3D%20np.arcsin(min(w_val%2C%200.999))%0A%20%20%20%20_alpha_max%20%3D%20np.pi%20-%20_alpha_min%0A%20%20%20%20_eps%20%3D%201e-3%0A%20%20%20%20_n_dense%20%3D%2080%0A%20%20%20%20_T_max%20%3D%2012.0%0A%0A%20%20%20%20_alphas_dense%20%3D%20np.linspace(_alpha_min%20%2B%20_eps%2C%20_alpha_max%20-%20_eps%2C%20_n_dense)%0A%20%20%20%20_terminal%20%3D%20compute_terminal_conditions(_alphas_dense%2C%20w_val%2C%20ell_tilde_val)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Single%20integration%20pass%20with%20dense%20output%0A%20%20%20%20_solutions%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_i%20in%20range(_n_dense)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_sol%20%3D%20solve_ivp(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rhs_backward%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0%2C%20_T_max%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_terminal%5B_i%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20args%3D(w_val%2C)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20method%3D'RK45'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20max_step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dense_output%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rtol%3D1e-8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20atol%3D1e-10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_solutions.append(_sol)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Extract%20isochrone%20curves%20(endpoints%20at%20fixed%20T)%0A%20%20%20%20_time_horizons%20%3D%20%5B1.0%2C%202.0%2C%204.0%2C%206.0%2C%208.0%2C%2012.0%5D%0A%20%20%20%20isochrones%20%3D%20%7B%7D%0A%20%20%20%20for%20_T%20in%20_time_horizons%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_endpoints%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_sol%20in%20_solutions%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_sol.success%20and%20_sol.t%5B-1%5D%20%3E%3D%20_T%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_state%20%3D%20_sol.sol(_T)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_endpoints.append(%5B_state%5B0%5D%2C%20_state%5B1%5D%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20isochrones%5B_T%5D%20%3D%20np.array(_endpoints)%20if%20_endpoints%20else%20np.empty((0%2C%202))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Scatter%20data%3A%20sample%20all%20trajectories%20at%20many%20time%20points%0A%20%20%20%20_scatter_x1%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20_scatter_x2%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20_scatter_tau%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20_n_time_samples%20%3D%20200%0A%20%20%20%20for%20_sol%20in%20_solutions%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20_sol.success%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_taus%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_sol.t%5B-1%5D%2C%20_n_time_samples)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_states%20%3D%20_sol.sol(_taus)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_scatter_x1.append(_states%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_scatter_x2.append(_states%5B1%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_scatter_tau.append(_taus)%0A%0A%20%20%20%20reachable_scatter%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20'x1'%3A%20np.concatenate(_scatter_x1)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20'x2'%3A%20np.concatenate(_scatter_x2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20'tau'%3A%20np.concatenate(_scatter_tau)%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20return%20isochrones%2C%20reachable_scatter%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20reachable_set_plot(%0A%20%20%20%20ell_tilde_val%2C%0A%20%20%20%20isochrones%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20reachable_scatter%2C%0A%20%20%20%20w_val%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(1%2C%201%2C%20figsize%3D(8%2C%208))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Background%3A%20scatter%20field%20colored%20by%20capture%20time%0A%20%20%20%20_sc%20%3D%20_ax.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reachable_scatter%5B'x1'%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reachable_scatter%5B'x2'%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20c%3Dreachable_scatter%5B'tau'%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cmap%3D'plasma'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20vmin%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20vmax%3D12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rasterized%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_cbar%20%3D%20_fig.colorbar(_sc%2C%20ax%3D_ax%2C%20orientation%3D'horizontal'%2C%20pad%3D0.08%2C%20shrink%3D0.8)%0A%20%20%20%20_cbar.set_label(r'Capture%20time%20%24%5Ctau%24'%2C%20fontsize%3D11)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Isochrone%20curves%20overlaid%0A%20%20%20%20_sorted_T%20%3D%20sorted(isochrones.keys())%0A%20%20%20%20for%20_T%20in%20_sorted_T%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_pts%20%3D%20isochrones%5B_T%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20len(_pts)%20%3C%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_pts%5B%3A%2C%200%5D%2C%20_pts%5B%3A%2C%201%5D%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D0.6%2C%20alpha%3D0.4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Label%20at%20the%20rightmost%20point%20of%20each%20isochrone%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_idx%20%3D%20np.argmax(_pts%5B%3A%2C%200%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf'%24T%3D%7B_T%3A.0f%7D%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(_pts%5B_idx%2C%200%5D%2C%20_pts%5B_idx%2C%201%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textcoords%3D'offset%20points'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(5%2C%200)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Terminal%20circle%0A%20%20%20%20_theta%20%3D%20np.linspace(0%2C%202%20*%20np.pi%2C%20200)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ell_tilde_val%20*%20np.cos(_theta)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ell_tilde_val%20*%20np.sin(_theta)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20'k-'%2C%20linewidth%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_ax.plot(0%2C%200%2C%20'k%2B'%2C%20markersize%3D12%2C%20markeredgewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(r'%24x_1%24%20(perpendicular)')%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(r'%24x_2%24%20(along%20heading)')%0A%20%20%20%20_ax.set_aspect('equal')%0A%20%20%20%20_ax.set_title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf'Value%20Function%20%2F%20Backward%20Reachable%20Set%20'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf'(%24w%20%3D%20%7Bw_val%3A.3f%7D%24%2C%20%24%5Ctilde%7B%7B%5Cell%7D%7D%20%3D%20%7Bell_tilde_val%3A.3f%7D%24)'%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20%C2%A710%20%E2%80%94%20Backward%20Reachable%20Set%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20**color%20field**%20shows%20the%20optimal%20capture%20time%20%24%5Ctau%24%20at%20each%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20position%20%E2%80%94%20darker%20colors%20(purple)%20mean%20the%20pursuer%20can%20capture%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20quickly%3B%20lighter%20colors%20(yellow)%20require%20a%20longer%20chase.%20This%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20a%20visualization%20of%20the%20**value%20function**%20%24V(%5Cmathbf%7Bx%7D)%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20thin%20black%20curves%20are%20**isochrones**%20%E2%80%94%20contours%20of%20constant%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20capture%20time.%20Where%20isochrones%20overlap%2C%20multiple%20characteristics%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20reach%20the%20same%20point%20at%20different%20times.%20In%20the%20full%20solution%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20singular%20surfaces%20(%C2%A77)%20would%20resolve%20these%20overlaps%3B%20the%20true%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20value%20function%20takes%20the%20**minimum**%20capture%20time%20at%20each%20point.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20colored%20region%20is%20the%20**backward%20reachable%20set**%3A%20all%20states%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20from%20which%20the%20pursuer%20can%20guarantee%20capture%20within%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20integration%20horizon.%20Points%20outside%20this%20region%20require%20a%20longer%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20chase%20or%20may%20be%20unreachable%20altogether%20(if%20%24w%24%20is%20too%20large).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20hamiltonian_check(mo%2C%20np%2C%20trajectories%2C%20w_val)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Numerical%20verification%3A%20H*%20and%20%7C%7Cp%7C%7C%5E2%20conservation%20along%20trajectories%0A%20%20%20%20def%20_check_conservation(trajs%2C%20w)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20max_H%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20max_p%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20sol%20in%20trajs%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x1_arr%2C%20x2_arr%2C%20p1_arr%2C%20p2_arr%20%3D%20sol.y%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20norm_p%20%3D%20np.sqrt(p1_arr**2%20%2B%20p2_arr**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sigma_arr%20%3D%20p2_arr%20*%20x1_arr%20-%20p1_arr%20*%20x2_arr%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20H_star%20%3D%20-np.abs(sigma_arr)%20%2B%20w%20*%20norm_p%20-%20p2_arr%20%2B%201.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20p_norm_sq%20%3D%20p1_arr**2%20%2B%20p2_arr**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20max_p%20%3D%20max(max_p%2C%20np.max(np.abs(p_norm_sq%20-%20p_norm_sq%5B0%5D)))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20max_H%20%3D%20max(max_H%2C%20np.max(np.abs(H_star)))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20max_H%2C%20max_p%0A%0A%20%20%20%20max_H_drift%2C%20max_p_drift%20%3D%20_check_conservation(trajectories%2C%20w_val)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Numerical%20Conservation%20Check%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20We%20inspect%20two%20invariants%20along%20all%20%7Blen(trajectories)%7D%20computed%0A%20%20%20%20%20%20%20%20trajectories%20to%20assess%20whether%20the%20observed%20deviations%20are%0A%20%20%20%20%20%20%20%20consistent%20with%20numerical%20artifacts%20or%20suggest%20a%20bug%20in%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20derivation%20or%20code%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Invariant%20%7C%20Max%20deviation%20%7C%20Character%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%24H%5E*%24%20(Hamiltonian)%20%7C%20%24%7Bmax_H_drift%3A.2e%7D%24%20%7C%20Bounded%2C%20localized%20at%20switching%20points%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%24%5C%7C%5Cmathbf%7B%7Bp%7D%7D%5C%7C%5E2%24%20(costate%20norm)%20%7C%20%24%7Bmax_p_drift%3A.2e%7D%24%20%7C%20Scales%20with%20%24%5C%7C%5Cmathbf%7B%7Bp%7D%7D%5C%7C%5E2%24%3B%20largest%20on%20high-%24%5Clambda%24%20trajectories%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20plots%20below%20show%20per-trajectory%20detail.%20We%20examine%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20scale%2C%20pattern%2C%20and%20accumulation%20of%20these%20deviations%20to%20judge%0A%20%20%20%20%20%20%20%20whether%20they%20are%20benign.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20conservation_plots(mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20trajectories%2C%20w_val)%3A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20(_ax1%2C%20_ax2)%20%3D%20plt.subplots(2%2C%201%2C%20figsize%3D(8%2C%2010)%2C%20sharex%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20_cmap%20%3D%20plt.cm.viridis%0A%20%20%20%20_n%20%3D%20len(trajectories)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Collect%20all%20H*%20values%20for%20robust%20y-limit%20computation%0A%20%20%20%20_all_H%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%20%20%20%20for%20_i%2C%20_sol%20in%20enumerate(trajectories)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_color%20%3D%20_cmap(_i%20%2F%20max(_n%20-%201%2C%201))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x1%2C%20_x2%2C%20_p1%2C%20_p2%20%3D%20_sol.y%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_t%20%3D%20_sol.t%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20H*%20%3D%20-%7Csigma%7C%20%2B%20w*%7C%7Cp%7C%7C%20-%20p2%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_sigma%20%3D%20_p2%20*%20_x1%20-%20_p1%20*%20_x2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_norm_p%20%3D%20np.sqrt(_p1**2%20%2B%20_p2**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_H_star%20%3D%20-np.abs(_sigma)%20%2B%20w_val%20*%20_norm_p%20-%20_p2%20%2B%201.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_all_H.extend(_H_star.tolist())%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax1.plot(_t%2C%20_H_star%2C%20'-'%2C%20color%3D_color%2C%20linewidth%3D0.6%2C%20alpha%3D0.7)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%7C%7Cp_0%7C%7C%5E2%20-%20%7C%7Cp%7C%7C%5E2%20%20(deviation%20from%20initial%20norm)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_p_norm_sq%20%3D%20_p1**2%20%2B%20_p2**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_p_norm_sq_0%20%3D%20_p_norm_sq%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax2.plot(_t%2C%20_p_norm_sq_0%20-%20_p_norm_sq%2C%20'-'%2C%20color%3D_color%2C%20linewidth%3D0.6%2C%20alpha%3D0.7)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Set%20symmetric%20y-limits%20for%20H*%20based%20on%2099th%20percentile%20to%20avoid%0A%20%20%20%20%23%20switching-point%20spikes%20dominating%20the%20scale%0A%20%20%20%20_all_H%20%3D%20np.array(_all_H)%0A%20%20%20%20_h_bound%20%3D%20np.percentile(np.abs(_all_H)%2C%2099)%20*%201.5%0A%20%20%20%20_h_bound%20%3D%20max(_h_bound%2C%201e-10)%20%20%23%20avoid%20degenerate%20zero%20range%0A%20%20%20%20_ax1.set_ylim(-_h_bound%2C%20_h_bound)%0A%0A%20%20%20%20_ax1.axhline(y%3D0%2C%20color%3D'black'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20linewidth%3D0.8%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax1.set_ylabel(r'%24H%5E*(%5Ctau)%24')%0A%20%20%20%20_ax1.set_title(r'Hamiltonian%20%24H%5E*%24%20along%20optimal%20characteristics')%0A%20%20%20%20_ax1.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20_ax2.axhline(y%3D0%2C%20color%3D'black'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20linewidth%3D0.8%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax2.set_xlabel(r'Backward%20time%20%24%5Ctau%24')%0A%20%20%20%20_ax2.set_ylabel(r'%24%5C%7C%5Cmathbf%7Bp%7D_0%5C%7C%5E2%20-%20%5C%7C%5Cmathbf%7Bp%7D(%5Ctau)%5C%7C%5E2%24')%0A%20%20%20%20_ax2.set_title(r'Costate%20norm%20drift%3A%20%24%5C%7C%5Cmathbf%7Bp%7D_0%5C%7C%5E2%20-%20%5C%7C%5Cmathbf%7Bp%7D%5C%7C%5E2%24')%0A%20%20%20%20_ax2.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20_fig.suptitle(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf'Numerical%20Conservation%20(%24w%20%3D%20%7Bw_val%3A.3f%7D%24%2C%20'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf'%7B_n%7D%20trajectories)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D13%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Top%20%E2%80%94%20Hamiltonian.**%20Along%20optimal%20characteristics%2C%20%24H%5E*%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20is%20a%20conserved%20quantity%20(the%20zero%20level%20set%20of%20the%20HJI%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20equation).%20The%20deviations%20we%20observe%20are%20localized%20at%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**bang-bang%20switching%20points**%2C%20where%20the%20switching%20function%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Csigma%24%20passes%20through%20zero%20and%20the%20optimal%20control%20%24%5Cphi%5E*%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20jumps%20between%20%24%2B1%24%20and%20%24-1%24.%20The%20ODE%20integrator%20(RK45)%20smooths%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20this%20instantaneous%20jump%20over%20a%20small%20interval%2C%20producing%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20transient%20%24H%5E*%24%20spike%20that%20does%20not%20accumulate%20%E2%80%94%20each%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20trajectory%20returns%20to%20near%20zero%20after%20the%20switch.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Bottom%20%E2%80%94%20Costate%20norm.**%20Since%20the%20costate%20rotates%20without%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20changing%20magnitude%20(%C2%A76%3A%20%24%5Cdot%7B%5Cmathbf%7Bp%7D%7D%20%3D%20%5Cphi%20J%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cmathbf%7Bp%7D%24)%2C%20%24%5C%7C%5Cmathbf%7Bp%7D%5C%7C%5E2%24%20is%20conserved.%20Most%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20trajectories%20show%20negligible%20drift.%20The%20one%20visible%20outlier%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20originates%20near%20the%20endpoint%20of%20the%20usable%20arc%20where%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Clambda(%5Calpha)%20%5Cto%20%5Cinfty%24%2C%20so%20its%20costate%20magnitude%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20large.%20A%20small%20*relative*%20integration%20error%20on%20a%20large%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5C%7C%5Cmathbf%7Bp%7D%5C%7C%5E2%24%20produces%20a%20correspondingly%20larger%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*absolute*%20deviation%20%E2%80%94%20this%20is%20expected%20behavior%20for%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fixed-tolerance%20adaptive%20integration.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**What%20would%20a%20genuine%20bug%20look%20like%3F**%20(1)%20%24H%5E*%24%20drifting%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*secularly*%20%E2%80%94%20growing%20linearly%20or%20exponentially%20with%20%24%5Ctau%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rather%20than%20staying%20bounded%3B%20(2)%20costate%20norm%20deviations%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20growing%20across%20*all*%20trajectories%2C%20not%20just%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20high-%24%5Clambda%24%20ones%3B%20or%20(3)%20deviations%20of%20%24%5Cmathcal%7BO%7D(1)%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rather%20than%20%24%5Cmathcal%7BO%7D(10%5E%7B-6%7D)%24.%20None%20of%20these%20patterns%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20are%20present.%20The%20observed%20deviations%20are%20consistent%20with%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20well-understood%20numerical%20artifacts%20and%20are%20many%20orders%20of%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20magnitude%20below%20any%20level%20that%20would%20affect%20the%20qualitative%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20structure%20of%20the%20solution.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20verification_summary(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20%C2%A711%20%E2%80%94%20Verification%20%26%20Validation%0A%0A%20%20%20%20How%20do%20we%20know%20the%20derivations%20and%20numerical%20results%20above%20are%20correct%3F%0A%20%20%20%20This%20notebook%20employs%20a%20layered%20V%26V%20strategy%20spanning%20symbolic%20proofs%2C%0A%20%20%20%20numerical%20invariants%2C%20cross-implementation%20checks%2C%20and%20degenerate-case%0A%20%20%20%20analysis.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Machine-Verified%20Invariants%0A%0A%20%20%20%20The%20numerical%20verification%20cell%20above%20checks%20two%20conservation%20laws%20along%0A%20%20%20%20every%20computed%20trajectory%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**Hamiltonian%20conservation**%20(%24H%5E*%20%5Capprox%200%24)%3A%20The%20reduced%20Hamiltonian%0A%20%20%20%20%20%20%24H%5E*%20%3D%20-%7C%5Csigma%7C%20%2B%20w%5C%7C%5Cmathbf%7Bp%7D%5C%7C%20-%20p_2%20%2B%201%24%20must%20vanish%20along%20optimal%0A%20%20%20%20%20%20characteristics.%20Any%20drift%20indicates%20numerical%20integration%20error%20or%0A%20%20%20%20%20%20incorrect%20control%20substitution.%0A%0A%20%20%20%20-%20**Costate%20norm%20conservation**%20(%24%5C%7C%5Cmathbf%7Bp%7D%5C%7C%5E2%20%3D%20%5Ctext%7Bconst%7D%24)%3A%20The%0A%20%20%20%20%20%20rotational%20structure%20of%20the%20adjoint%20equations%20(%C2%A76)%20guarantees%0A%20%20%20%20%20%20%24%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5C%7C%5Cmathbf%7Bp%7D%5C%7C%5E2%20%3D%200%24.%20This%20is%20verified%20both%20symbolically%0A%20%20%20%20%20%20(SymPy%20confirms%20it%20vanishes%20identically)%20and%20numerically%20(max%20drift%0A%20%20%20%20%20%20%24%3C%2010%5E%7B-8%7D%24%20along%20integrated%20trajectories).%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Symbolic%E2%80%93Numerical%20Cross-Checks%0A%0A%20%20%20%20The%20companion%20test%20suite%20(%60test_phase2.py%60)%20verifies%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**Lambdified%20vs.%20hand-coded%20ODE**%20(T1)%3A%20The%20%60sp.lambdify%60-generated%0A%20%20%20%20%20%20function%20matches%20an%20independently%20coded%20NumPy%20implementation%20at%2050%0A%20%20%20%20%20%20random%20state-costate-parameter%20points.%20This%20guards%20against%20lambdification%0A%20%20%20%20%20%20bugs.%0A%0A%20%20%20%20-%20**Full%20derivation%20vs.%20canonical%20form**%20(T10)%3A%20The%20complete%20body-frame%0A%20%20%20%20%20%20derivation%20(differentiating%20the%20coordinate%20transformation%2C%20substituting%0A%20%20%20%20%20%20absolute%20dynamics%2C%20simplifying%20via%20trig%20identities)%20produces%20expressions%0A%20%20%20%20%20%20that%20agree%20numerically%20with%20the%20canonical%20form%0A%20%20%20%20%20%20%24f_1%20%3D%20-%5Cphi%20x_2%20%2B%20w%5Csin%5Cpsi%24%2C%20%24f_2%20%3D%20%5Cphi%20x_1%20%2B%20w%5Ccos%5Cpsi%20-%201%24%0A%20%20%20%20%20%20at%2020%20random%20test%20points.%0A%0A%20%20%20%20-%20**Symbol%20purity**%20(T9)%3A%20The%20canonical%20dynamics%20contain%20only%20the%0A%20%20%20%20%20%20reduced%20symbols%20%24%5C%7B%5Cphi%2C%20%5Cpsi%2C%20w%2C%20x_1%2C%20x_2%5C%7D%24%20%E2%80%94%20no%20residual%0A%20%20%20%20%20%20%60Function%60%20objects%20like%20%24%5Ctheta(t)%24%20or%20%24x_P(t)%24%20from%20the%20derivation%0A%20%20%20%20%20%20chain.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Degenerate%20Cases%0A%0A%20%20%20%20**Stationary%20evader**%20(%24w%20%3D%200%24)%3A%20The%20dynamics%20reduce%20to%0A%20%20%20%20%24%5Cdot%7Bx%7D_1%20%3D%20-%5Cphi%20x_2%24%2C%20%24%5Cdot%7Bx%7D_2%20%3D%20%5Cphi%20x_1%20-%201%24%20%E2%80%94%20pure%20pursuit%0A%20%20%20%20at%20unit%20speed%20along%20the%20%24x_2%24%20axis.%20From%20initial%20position%20%24(0%2C%20d)%24%2C%0A%20%20%20%20the%20capture%20time%20is%20exactly%20%24d%20-%20%5Ctilde%7B%5Cell%7D%24.%20This%20is%20verified%20by%0A%20%20%20%20test%20T6%20and%20serves%20as%20a%20basic%20sanity%20check%20that%20the%20signs%20and%0A%20%20%20%20normalizations%20are%20correct.%0A%0A%20%20%20%20**Equal%20speeds**%20(%24w%20%5Cto%201%24)%3A%20As%20the%20speed%20ratio%20approaches%20unity%2C%20the%0A%20%20%20%20usable%20part%20of%20the%20terminal%20circle%20shrinks%20%E2%80%94%20%24%5Calpha%20%5Cin%0A%20%20%20%20(%5Carcsin%20w%2C%20%5Cpi%20-%20%5Carcsin%20w)%24%20collapses%20to%20a%20single%20point%20at%0A%20%20%20%20%24%5Calpha%20%3D%20%5Cpi%2F2%24.%20Physically%2C%20the%20evader%20can%20escape%20in%20almost%20every%0A%20%20%20%20direction%2C%20and%20capture%20becomes%20possible%20only%20for%20very%20large%0A%20%20%20%20%24%5Ctilde%7B%5Cell%7D%24%20(the%20pursuer%20must%20rely%20on%20its%20turning%20constraint%20being%0A%20%20%20%20less%20of%20a%20liability%20than%20the%20evader's%20speed%20deficit).%20This%20limiting%0A%20%20%20%20behavior%20is%20consistent%20with%20the%20known%20result%20that%20for%20%24w%20%5Cgeq%201%24%2C%0A%20%20%20%20the%20evader%20can%20always%20escape%20regardless%20of%20%24%5Ctilde%7B%5Cell%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Symmetry%0A%0A%20%20%20%20The%20reduced%20dynamics%20are%20symmetric%20under%20%24x_1%20%5Cto%20-x_1%24%2C%20%24p_1%20%5Cto%20-p_1%24%2C%0A%20%20%20%20%24%5Cphi%20%5Cto%20-%5Cphi%24%2C%20%24%5Cpsi%20%5Cto%20-%5Cpsi%24%20%E2%80%94%20reflecting%20the%20geometric%20symmetry%0A%20%20%20%20of%20the%20pursuer's%20body%20frame%20about%20the%20heading%20axis.%20This%20symmetry%20is%0A%20%20%20%20visible%20in%20the%20isochrone%20plots%20(%C2%A710)%2C%20which%20are%20mirror-symmetric%20about%0A%20%20%20%20the%20%24x_2%24-axis.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20What%20Remains%0A%0A%20%20%20%20The%20critical%20human-verification%20items%20(see%20%60VALIDATION_CHECKLIST.md%60%2C%0A%20%20%20%20Section%20F)%20are%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**F2**%3A%20Do%20the%20trajectory%20spirals%20rotate%20in%20the%20correct%20direction%0A%20%20%20%20%20%20(CW%20vs.%20CCW)%20compared%20to%20published%20figures%3F%0A%20%20%20%20-%20**F3**%3A%20Do%20the%20isochrone%20shapes%20match%20Patsko%20%26%20Turova%20(2011)%20for%0A%20%20%20%20%20%20specific%20%24(w%2C%20%5Ctilde%7B%5Cell%7D)%24%20values%3F%0A%20%20%20%20-%20**F4**%3A%20For%20parameter%20values%20where%20the%20evader%20can%20escape%2C%20does%20the%0A%20%20%20%20%20%20reachable%20set%20boundary%20remain%20open%3F%0A%0A%20%20%20%20These%20require%20visual%20comparison%20against%20published%20results%20and%20cannot%20be%0A%20%20%20%20automated%20within%20the%20notebook.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20extensions(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20%C2%A712%20%E2%80%94%20Extensions%20%26%20Further%20Reading%0A%0A%20%20%20%20The%20Homicidal%20Chauffeur%20is%20one%20node%20in%20a%20large%20family%20of%20pursuit-evasion%0A%20%20%20%20differential%20games.%20We%20briefly%20survey%20several%20important%20extensions.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Deadlock%3A%20Bounded%20Orbits%20Without%20Capture%0A%0A%20%20%20%20Throughout%20this%20notebook%20we%20assumed%20parameters%20where%20the%20pursuer%0A%20%20%20%20*can*%20capture%20the%20evader%20%E2%80%94%20every%20backward%20characteristic%20eventually%0A%20%20%20%20reaches%20the%20terminal%20surface.%20But%20for%20certain%20speed%20ratios%20and%20turning%0A%20%20%20%20radii%2C%20**neither%20side%20can%20force%20a%20decisive%20outcome**%3A%20the%20pursuer%0A%20%20%20%20cannot%20capture%20the%20evader%2C%20yet%20the%20evader%20cannot%20escape%20to%20infinity%0A%20%20%20%20either.%20The%20two%20players%20settle%20into%20bounded%2C%20perpetually%20circling%0A%20%20%20%20orbits%20%E2%80%94%20a%20phenomenon%20sometimes%20called%20**deadlock**%20or%20the%0A%20%20%20%20**barrier-enclosed%20free%20zone**.%0A%0A%20%20%20%20This%20occurs%20near%20the%20critical%20speed%20ratio%20%24w%5E*%24%20that%20separates%20capture%0A%20%20%20%20from%20escape.%20When%20%24w%24%20is%20just%20above%20%24w%5E*%24%2C%20the%20game's%20barrier%20curves%0A%20%20%20%20close%20off%20a%20bounded%20region%20of%20the%20reduced%20state%20space%20from%20which%20the%0A%20%20%20%20evader%20can%20never%20be%20expelled%20but%20can%20never%20be%20caught.%20The%20optimal%0A%20%20%20%20strategies%20inside%20this%20region%20produce%20limit-cycle-like%20trajectories%20in%0A%20%20%20%20physical%20coordinates%3A%20the%20pursuer%20spirals%20inward%2C%20the%20evader%20dodges%0A%20%20%20%20sideways%2C%20and%20the%20separation%20oscillates%20without%20converging%20to%20zero.%0A%0A%20%20%20%20Analyzing%20these%20orbits%20requires%20characterizing%20the%20**barrier%20surface**%0A%20%20%20%20geometry%20as%20a%20function%20of%20%24(w%2C%20%5Ctilde%5Cell)%24%20and%20identifying%20the%0A%20%20%20%20bifurcation%20at%20%24w%5E*%24.%20This%20is%20the%20natural%20next%20step%20beyond%20the%0A%20%20%20%20capture%20analysis%20presented%20here%2C%20and%20is%20treated%20in%20detail%20by%20Merz%0A%20%20%20%20(1971%2C%20Ch.%205)%20and%20Patsko%20%26%20Turova%20(2001%2C%20%C2%A74).%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Acoustic%20Homicidal%20Chauffeur%20(Bernhard%2C%201979)%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20classical%20HC%20game%2C%20the%20evader's%20speed%20%24v_E%24%20is%20constant.%20Bernhard%0A%20%20%20%20introduced%20a%20variant%20where%20%24v_E%24%20depends%20on%20the%20distance%20to%20the%20pursuer%0A%20%20%20%20%E2%80%94%20modeling%20acoustic%20detection%20scenarios%20where%20a%20submarine's%20safe%20speed%0A%20%20%20%20decreases%20as%20it%20approaches%20a%20sonar-equipped%20surface%20vessel.%20This%20makes%0A%20%20%20%20the%20speed%20ratio%20%24w%24%20state-dependent%2C%20fundamentally%20changing%20the%20game's%0A%20%20%20%20structure%20and%20eliminating%20some%20of%20the%20symmetries%20we%20exploited%20above.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Multiplayer%20Pursuit-Evasion%0A%0A%20%20%20%20Real-world%20scenarios%20often%20involve%20**multiple%20pursuers**%20cooperating%20to%0A%20%20%20%20capture%20one%20or%20more%20evaders.%20This%20raises%20questions%20of%20task%20assignment%0A%20%20%20%20(which%20pursuer%20targets%20which%20evader%3F)%2C%20coalition%20formation%2C%20and%20Pareto%0A%20%20%20%20optimality.%20The%20state%20space%20grows%20rapidly%20%E2%80%94%20%24n%24%20pursuers%20and%20%24m%24%20evaders%0A%20%20%20%20produce%20a%20%242(n%20%2B%20m)%24-dimensional%20game%20before%20any%20reduction.%20Key%0A%20%20%20%20references%20include%20Kumkov%2C%20Le%20M%C3%A9nec%20%26%20Patsko%20(2017)%20for%20multi-pursuer%0A%20%20%20%20HC%20variants.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20The%20Reversed%20Game%20(Lewin%2C%201973)%0A%0A%20%20%20%20Instead%20of%20a%20pursuer%20trying%20to%20enter%20a%20capture%20zone%20around%20the%20evader%2C%0A%20%20%20%20consider%20an%20evader%20trying%20to%20**escape**%20a%20detection%20zone%20around%20the%0A%20%20%20%20pursuer.%20The%20kinematics%20are%20identical%20but%20the%20roles%20of%20the%20terminal%20set%0A%20%20%20%20and%20objective%20function%20are%20reversed.%20This%20models%20scenarios%20like%20a%20target%0A%20%20%20%20aircraft%20trying%20to%20escape%20a%20missile's%20seeker%20cone.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Connection%20to%20Dubins%20Paths%0A%0A%20%20%20%20When%20%24w%20%3D%200%24%20(stationary%20evader)%2C%20the%20HC%20game%20reduces%20to%20the%20problem%0A%20%20%20%20of%20finding%20the%20**minimum-time%20path%20for%20a%20Dubins%20vehicle**%20%E2%80%94%20a%20car%20that%0A%20%20%20%20moves%20at%20constant%20speed%20with%20bounded%20turning%20radius.%20The%20optimal%20paths%0A%20%20%20%20are%20well%20known%3A%20sequences%20of%20circular%20arcs%20(C)%20and%20straight-line%0A%20%20%20%20segments%20(S)%2C%20specifically%20of%20type%20CSC%20or%20CCC.%20The%20HC%20game%20can%20be%0A%20%20%20%20viewed%20as%20%22Dubins%20path%20planning%20against%20an%20adversary.%22%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Modern%20Computational%20Approaches%0A%0A%20%20%20%20While%20this%20notebook%20uses%20the%20**method%20of%20characteristics**%20(backward%0A%20%20%20%20integration%20from%20the%20terminal%20surface)%2C%20modern%20computational%20tools%20solve%0A%20%20%20%20the%20Hamilton-Jacobi-Isaacs%20PDE%20directly%20on%20a%20grid%20using%20**level%20set%0A%20%20%20%20methods**%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**Theoretical%20foundation%3A**%20Bardi%2C%20Falcone%20%26%20Soravia%20(1999)%0A%20%20%20%20%20%20established%20the%20convergence%20of%20finite-difference%20schemes%20for%20HJI%0A%20%20%20%20%20%20equations.%0A%20%20%20%20-%20**Software%3A**%20Toolboxes%20like%20%60helperOC%60%20(MATLAB)%2C%20%60hj_reachability%60%0A%20%20%20%20%20%20(JAX%2FPython)%2C%20and%20%60OptimizedDP%60%20(heterogeneous%20computing)%20can%20solve%0A%20%20%20%20%20%20the%20HJI%20PDE%20for%20systems%20with%203%E2%80%936%20state%20dimensions.%0A%0A%20%20%20%20Grid-based%20methods%20handle%20singular%20surfaces%20automatically%20(they%20are%0A%20%20%20%20captured%20as%20kinks%20in%20the%20value%20function)%20but%20become%20computationally%0A%20%20%20%20expensive%20in%20higher%20dimensions%20%E2%80%94%20the%20so-called%20%22curse%20of%20dimensionality.%22%0A%20%20%20%20The%20HC%20game's%202D%20reduced%20state%20space%20makes%20it%20amenable%20to%20both%0A%20%20%20%20characteristic-based%20and%20grid-based%20methods.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20References%0A%0A%20%20%20%20-%20R.%20Isaacs%2C%20*Games%20of%20Pursuit*%2C%20RAND%20Corporation%20Paper%20P-257%20(1951)%0A%20%20%20%20-%20R.%20Isaacs%2C%20*Differential%20Games%3A%20A%20Mathematical%20Theory%20with%20Applications%0A%20%20%20%20%20%20to%20Warfare%20and%20Pursuit%2C%20Control%20and%20Optimization*%2C%20John%20Wiley%20%26%20Sons%0A%20%20%20%20%20%20(1965)%0A%20%20%20%20-%20A.W.%20Merz%2C%20*The%20Homicidal%20Chauffeur%20%E2%80%94%20A%20Differential%20Game*%2C%20PhD%0A%20%20%20%20%20%20Thesis%2C%20Stanford%20University%20(1971)%0A%20%20%20%20-%20P.%20Bernhard%2C%20%22Singular%20surfaces%20in%20differential%20games%3A%20an%20introduction%2C%22%0A%20%20%20%20%20%20in%20*Differential%20Games%20and%20Applications*%2C%20Springer%20Lecture%20Notes%20in%0A%20%20%20%20%20%20Information%20and%20Control%20Sciences%203%20(1977)%0A%20%20%20%20-%20M.%20Bardi%2C%20M.%20Falcone%20%26%20P.%20Soravia%2C%20%22Numerical%20methods%20for%0A%20%20%20%20%20%20pursuit-evasion%20games%20via%20viscosity%20solutions%2C%22%20in%20*Stochastic%20and%0A%20%20%20%20%20%20Differential%20Games*%2C%20Birkh%C3%A4user%20(1999)%0A%20%20%20%20-%20V.S.%20Patsko%20%26%20V.L.%20Turova%2C%20*Numerical%20Solution%20of%20Two-Dimensional%0A%20%20%20%20%20%20Differential%20Games*%2C%20IIASA%20Interim%20Report%20IR-01-026%20(2001)%0A%20%20%20%20-%20V.S.%20Patsko%20%26%20V.L.%20Turova%2C%20%22Homicidal%20Chauffeur%20Game%3A%20History%20and%0A%20%20%20%20%20%20Modern%20Studies%2C%22%20in%20*Advances%20in%20Dynamic%20Games*%2C%20Annals%20of%20the%0A%20%20%20%20%20%20International%20Society%20of%20Dynamic%20Games%2011%20(2011)%0A%20%20%20%20-%20S.V.%20Kumkov%2C%20S.%20Le%20M%C3%A9nec%20%26%20V.S.%20Patsko%2C%20%22Zero-sum%20pursuit-evasion%0A%20%20%20%20%20%20differential%20games%20with%20many%20objects%3A%20survey%20of%20publications%2C%22%0A%20%20%20%20%20%20*Dynamic%20Games%20and%20Applications*%207%20(2017)%0A%20%20%20%20-%20S.%20Coates%20%26%20M.%20Pachter%2C%20%22The%20Classical%20Homicidal%20Chauffeur%20Game%2C%22%0A%20%20%20%20%20%20*Dynamic%20Games%20and%20Applications*%209(1)%20(2019)%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Software%0A%0A%20%20%20%20-%20A.%20Agrawal%20%26%20M.%20Scolnick%2C%20%22marimo%20%E2%80%94%20an%20open-source%20reactive%20notebook%0A%20%20%20%20%20%20for%20Python%22%20(2023)%2C%20DOI%3A%0A%20%20%20%20%20%20%5B10.5281%2Fzenodo.12735329%5D(https%3A%2F%2Fdoi.org%2F10.5281%2Fzenodo.12735329)%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20%20%20%5Bmarimo.io%5D(https%3A%2F%2Fmarimo.io)%0A%20%20%20%20-%20A.%20Meurer%20et%20al.%2C%20%22SymPy%3A%20symbolic%20computing%20in%20Python%2C%22%0A%20%20%20%20%20%20*PeerJ%20Computer%20Science*%203%3Ae103%20(2017)%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20%20%20%5Bsympy.org%5D(https%3A%2F%2Fwww.sympy.org)%0A%20%20%20%20-%20C.R.%20Harris%20et%20al.%2C%20%22Array%20programming%20with%20NumPy%2C%22%0A%20%20%20%20%20%20*Nature*%20585%2C%20357%E2%80%93362%20(2020)%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20%20%20%5Bnumpy.org%5D(https%3A%2F%2Fnumpy.org)%0A%20%20%20%20-%20P.%20Virtanen%20et%20al.%2C%20%22SciPy%201.0%3A%20fundamental%20algorithms%20for%20scientific%0A%20%20%20%20%20%20computing%20in%20Python%2C%22%20*Nature%20Methods*%2017%2C%20261%E2%80%93272%20(2020)%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20%20%20%5Bscipy.org%5D(https%3A%2F%2Fscipy.org)%0A%20%20%20%20-%20J.D.%20Hunter%2C%20%22Matplotlib%3A%20A%202D%20graphics%20environment%2C%22%0A%20%20%20%20%20%20*Computing%20in%20Science%20%26%20Engineering*%209(3)%2C%2090%E2%80%9395%20(2007)%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20%20%20%5Bmatplotlib.org%5D(https%3A%2F%2Fmatplotlib.org)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A